题目内容
【题目】如图所示，匀强磁场与匀强电场存在理想边界AB，已知匀强电场的方向与边界成45°角，匀强磁场的方向垂直纸面向里。今在AB上的O点向磁场中射入一个速度大小为v，质量为m，方向与AB成45°角的带正电粒子，此时该粒子在磁场中运动时的轨道半径为R。磁感应强度B与电场强度E均未知但满足关系E=vB，如果把带电粒子从O点出发记为第一次进入磁场。不计粒子的重力，试计算：
（1）粒子第一次进入电场以后，最多能克服电场力做的功；
（2）粒子第三次进入磁场时到O点的距离和该次进入磁场后运动的轨道半径R1。
【答案】（1）
；（2）
，
【解析】
粒子的运动轨迹如图所示。先为一段半径为R的四分之三圆弧到a点，后恰好逆着电场线匀减速运动到b点速度为零，又返回a点速度仍为v，然后在磁场中运动一段四分之一圆弧到c点，之后垂直于电场线方向进入电场做类平抛运动到d点。
（1）由分析可知，粒子在第一次进入电场后到速度变为零时克服电场力做功最多，设克服电场力做功为W，根据动能定理可知：
可得
（2）当粒子第三次进入磁场时距离O点的距离为Oa段、ac段与cd段的距离之和，分别记为x1、x2、x3，故有
粒子在电场中做类平抛运动时，其在垂直电场方向的分位移
x=vt
在平行电场方向的分位移
又在平行电场中的加速度
因为电场方向与边界成45°角，故有
粒子在匀强磁场中运动时
又有
联立以上公式可解得类平抛运动的位移
因此，O点到d点的距离
第三次进入磁场后有
据平抛运动知识可知，进入磁场时速度偏角正切值为位移偏角正切值的2倍。
即
故可知
所以
所以可得粒子第五次进入磁场后的轨迹半径为
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