Question

7．如图所示，在边长为L的正方形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小为B，在正方形对角线CE上有一点P，其到CF、CD距离均为$\frac{L}{4}$，且在P点处有一个发射正离子的装置，能连续不断地向纸面内的各方向均匀发射出速率不同的正离子．已知离子的质量为m，电荷量为q，不计离子重力及离子间相互作用力．（　　）

• A． 速率为0＜V＜$\frac{BqL}{8m}$ 范围内的 所有正离子均不能射出正方形区域
• B． 速率为0＜V＜$\frac{BqL}{4m}$范围内的 所有正离子均不能射出正方形区域
• C． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正离子中能打在DE边上的离子数是其总数的$\frac{1}{6}$
• D． 速率V=$\frac{BqL}{2m}$的所有正离子中能打在DE边上的离子数是其总数的$\frac{1}{12}$

Answer 1

分析 本题分两种情况：第一是A和B考察的是要使离子不射出磁场时，最大的速度，由周边磁场及半径公式，显然是以P到CF和CD的距离为直径的圆是最大速度的轨迹．第二是当速度为某一确定值时，求打在DE上离子的总数点离子数的几分之一，显然要先分析能打在四边上离子的范围，那么打在DE上范围占四边上范围总数的几分之一，就是打在DE上离子总数的几分之一．

解答 解：AB、由于带电离子从P点以大小不同、方向也不同的速度向各个方向入射，则轨迹圆心
难以确定显然在向各个方向入射的离子中要使离子不从任何边界射出，则带电离子的最大半
径的轨迹如图所示，即2r_max=$\frac{1}{4}L$，由洛仑兹力提供向心力qv_maxB=m$\frac{{{v}_{max}}^{2}}{{r}_{max}}$．解得v_max=$\frac{BqL}{8m}$，
即只要小于该速度的离子均在磁场区域内做完整的匀速圆周运动，所以选项A正确，选项B错误．
CD、当粒子的速度为v=$\frac{BqL}{2m}$时，由上述半径公式可得：该离子做匀速圆周运动的半径r=$\frac{L}{2}$，
由周边磁场区域的特征，只要能穿过CD边，即轨迹与CD相切打在DE的G点，如图所示：
△POK中设CA=x，由勾股定理，（x-$\frac{1}{4}L$）²+（r-$\frac{1}{4}L$）²=r² 解得x=$\frac{\sqrt{3}+1}{4}L$．设打在DE上的
点M（打在DE上最低点）到D的距离为y，则在△OHG中由勾股定理：（L-x）²+（r-y）²=r²
代入解得：y=$\frac{2L-\sqrt{6\sqrt{3}-8}}{4}$．当离子的轨迹与DE相切时，是打在DE上的最高点，与DE相切于N点，
打在EF上A点，如图所示，设相切点N与D点的距离为z，在△PO₁Q中（z-$\frac{1}{4}L$）²+（$\frac{3}{4}L-\frac{1}{2}L$）²=r²，解得：
z=$\frac{4-\sqrt{3}}{4}L$，打在DE上的范围△s=z-y=$\frac{2+\sqrt{6\sqrt{3}-8}-\sqrt{3}}{4}$在△O₁AJ中，设NE=a，据勾股定理：
（L-z）²+（r-a）²=r² 解得a=$\frac{2-\sqrt{24-10\sqrt{3}}}{4}$，经分析打在正方形四边的范围有△S=CF+CAGN+AF=
L+x+y-z+L-a=$\frac{1}{12}△s$，这样打在DE上的粒子点总离子数的$\frac{1}{12}$，所以选项C错误，选项D正确．
故选：AD

点评 本题的难点在于从P点发出的离子的速度大小和方向均不同，所以需要考虑的因素比较多：①半径大小决定着轨迹的平缓程度，②速度方向也决定着有可能与周边边界的情况．