Question

6．在太阳系外发现的某恒星a的质量为太阳质量的0.3倍，该恒星的一颗行星b的质量是地球的4倍，直径是地球的1.5倍，公转周期为10天．设该行星与地球均为质量分布均匀的球体，且分别绕其中心天体做匀速圆周运动，则（　　）

• A． 行星b的第一宇宙速度与地球相同
• B． 行星b绕恒星a运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度
• C． 如果将物体从地球搬到行星b上，其重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$
• D． 行星b与恒星a的距离是日地距离的$\sqrt{\frac{2}{73}}$倍

Answer 1

分析 由第一宇宙速度即在中心天体表面做圆周运动的速度即可求解第一宇宙速度；由加速度与周期的关系式即可求得角速度；物体的重力即物体的万有引力；根据万有引力做向心力，已知周期即可求解圆周运动的半径．

解答 解：设恒星质量为M₁′，行星质量为M′，地球质量为M，太阳质量为M₁；
A、行星b的第一宇宙速度即行星外卫星绕行星做匀速圆周运动，万有引力做向心力，半径为行星半径时的速度，所以有：$\frac{GM′m}{{R′}^{2}}=\frac{m{v′}^{2}}{R′}$，所以，$v′=\sqrt{\frac{GM′}{R′}}=\sqrt{\frac{4GM}{1.5R}}=\sqrt{\frac{8}{3}}v$，故A错误；
B、行星绕恒星运行，即以万有引力做向心力做圆周运动，$ω′=\frac{2π}{T′}$，行星公转周期为10天，地球公转周期为1年，故行星公转周期小于地球公转周期，所以，行星b绕恒星a运行的角速度大于地球绕太阳运行的角速度，故B正确；
C、在行星表面，万有引力即物体的重力，所以，重力加速度$g′=\frac{GM′}{R{′}^{2}}=\frac{4GM}{（1.5R）^{2}}=\frac{16}{9}g$，所以，重力是在地球上重力的$\frac{16}{9}$，故C正确；
D、设日地距离为d，行星绕恒星做圆周运动，万有引力做向心力，则有：$\frac{G{M}_{1}′M′}{{{R}_{1}′}^{2}}=M′（\frac{2π}{T′}）^{2}{R}_{1}′$，所以，${R}_{1}′=\root{3}{\frac{G{M}_{1}′T{′}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{G×0.3{M}_{1}×（\frac{10}{365}T）^{2}}{4{π}^{2}}}=\root{3}{\frac{30}{36{5}^{2}}}d$，故D错误；
故选：BC．

点评 在万有引力的考察中，都是根据万有引力做向心力，然后由求得半径、周期、角速度、速度之间的关系进而求解相关问题．