Question

14．1932年美国物理学家劳伦斯发明了回旋加速器，巧妙地利用带电粒子在磁场中的运动特点，解决了粒子的加速问题．现在回旋加速器被广泛应用于科学研究和医学设备中．某型号的回旋加速器的工作原理如图甲所示，图乙为俯视图．回旋加速器的核心部分为两个D形盒，分别为D₁、D₂．D形盒装在真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的强大磁场中，磁场可以认为是匀强磁场，且与D形盒底面垂直．两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计．D形盒的半径为R，磁场的磁感应强度为B．设质子从粒子源A处进入加速电场的初速度不计．质子质量为m、电荷量为+q．加速器接入一定频率的高频交变电源，加速电压为U．加速过程中不考虑相对论效应和重力作用．求：

（1）质子第一次经过狭缝被加速后进入D₂盒时的速度大小v₁和进入D₂盒后运动的轨道半径r₁；
（2）质子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）若两D形盒狭缝之间距离为d，d＜＜R，计算说明质子在电场中运动的时间与在磁场中运动时间相比可以忽略不计的原因．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出质子第一次经过狭缝被加速后进入D₂盒时的速度大小，结合洛伦兹力提供向心力求出质子进入D₂盒后运动的轨道半径r₁；
（2）根据D型盒的半径求出质子的最大速度，抓住质子每经过一圈加速两次，结合动能定理得出加速的次数，根据质子在磁场中的运动周期求出质子从静止开始加速到出口处所需的时间t；
（3）根据加速的圈数求出粒子在磁场中的运动时间，结合匀变速直线运动的推论得出在电场中加速的时间，通过时间的比值分析判断．

解答 解：（1）根据动能定理可得：$Uq=\frac{1}{2}m{v_1}^2$，
解得${v_1}=\sqrt{\frac{2Uq}{m}}$，
由质子运动过程中洛伦兹力充当向心力，所以qv₁B=m$\frac{{{v_1}^2}}{r_1}$，
解得：${r_1}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2Um}{q}}$．
（2）设质子从静止开始加速到离开被加速了n圈，质子在出口处的速度为v，
根据动能定理可得：$2nqU=\frac{1}{2}m{v^2}$，
由质子在出口处做圆周运动的半径恰为D形盒半径R，即$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$，
则$R=\frac{mv}{qB}$，
由$T=\frac{2πr}{v}$，解得$T=\frac{2πm}{qB}$．
因为t=nT，解得$t=\frac{{πB{R^2}}}{2U}$．
（3）设质子在出口处速度为v，完成圆周运动n圈，被加速了2n次，则在磁场中运动时间（每圈周期相同）为t，则$t=n.\frac{2πR}{v}$，
在电场中加速，有：$\frac{0+v}{2}{t}_{1}=2nd$，则加速的时间${t}_{1}=\frac{4nd}{v}$，
时间之比$\frac{t}{t_1}=\frac{πR}{2d}$．
因为R＞＞d，则t＞＞t₁
可知质子在电场中的运动时间可以忽略不计．
答：（1）质子第一次经过狭缝被加速后进入D₂盒时的速度大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，进入D₂盒后运动的轨道半径为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）质子从静止开始加速到出口处所需的时间t为$\frac{πB{R}^{2}}{2U}$；
（3）证明如上所示．

点评 解决本题的关键掌握回旋加速器的原理，运用电场加速和磁场偏转，知道粒子在磁场中运动的周期与加速电场的变化周期相等．