Question

7．中心均开有小孔的金属板C、D与边长为d的正方形单匝金属线圈连接，正方形框内有垂直纸面的匀强磁场，大小随时间变化的关系为B=kt（k未知且k＞0），E、F为磁场边界，且与C、D板平行．D板正下方分布磁场大小均为B₀，方向如图所示的匀强磁场．区域Ⅰ的磁场宽度为d，区域Ⅱ的磁场宽度足够大．在C板小孔附近有质量为m、电量为q的正离子由静止开始加速后，经D板小孔垂直进入磁场区域Ⅰ，不计离子重力．
（1）判断金属板CD之间的电场强度的方向和正方形线框内的磁场方向；
（2）若离子从C板出发，运动一段时间后又恰能回到C板出发点，求离子在磁场中运动的总时间；
（3）若改变正方形框内的磁感强度变化率k，离子可从距D板小孔为2d的点穿过E边界离开磁场，求正方形框内磁感强度的变化率k是多少？

Answer 1

分析 本题（1）的关键是根据楞次定律即可求解；题（2）的关键是画出离子运动的轨迹图，找出圆心，根据几何知识可求出三个轨迹对应的圆心角，即可求解；题（3）的关键是先根据法拉第电磁感应定律求出磁场变化率K，然后画出离子从距D板小孔为2d的点穿过E边界离开磁场时存在两种情况的轨迹图，根据几何知识求出圆的半径，代入即可求解．

解答 解：（1）金属板CD之间的电场强度方向由C垂直指向D，正方形线框内的磁场方向垂直纸面向里．
（2）离子在Ⅰ、Ⅱ区域内作圆周运动，半径均为R，有：${{qv}_{0}^{\;}B}_{0}^{\;}$=$\frac{{mv}_{0}^{2}}{R}$…①
运动周期均为T，有：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}^{\;}}$…②
解①②得：T=$\frac{2πm}{{qB}_{0}^{\;}}$…③
由题意知粒子运动轨迹如图（甲），将三个轨迹的圆心连接起来，由几何知识可知，所得三角形为等边三角形，所以离子在磁场中运动的总时间为：t=$2•\frac{\frac{π}{3}}{2π}•T$+$\frac{2π-\frac{π}{3}}{2π}•T$=$\frac{T}{3}+\frac{5T}{6}$=$\frac{7T}{6}$…④
解③④得：t=$\frac{7πm}{3q{B}_{0}^{\;}}$…⑤

（3）单匝圆形线框产生的电动势为U，由法拉第电磁感应定律得：U=$\frac{S△B}{△t}$=K${πd}_{\;}^{2}$…⑥
离子从D板小孔射出速度为V，有动能定理得：qU=$\frac{1}{2}{mv}_{\;}^{2}$…⑦
解①⑥⑦得：K=$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{2π{md}_{\;}^{2}}$…⑧
离子进入磁场从E边界射出的运动轨迹有两种情况：
（Ⅰ）如果离子从小孔下面离开磁场，运动轨迹与F相切，如图（乙）所示
由几何关系知：R=d…⑨
解⑧⑨得：K=$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}}{2πm}$…⑩
（Ⅱ）如果离子从小孔上面离开磁场，如图（乙）所示
由几何关系知：$（R+d）_{\;}^{2}+（2d）_{\;}^{2}=（2R）_{\;}^{2}$…（11）
解⑧（11）得：K=$\frac{25{qB}_{0}^{2}}{18πm}$…（12）
答：（1）金属板CD之间的电场强度方向由C垂直指向D，圆形线框内的磁场方向垂直纸面向里；
（2）离子在磁场中运动的总时间为t=$\frac{7πm}{3q{B}_{0}^{\;}}$；
（3）圆形框内磁感强度的变化率k是$\frac{{{qB}_{0}^{2}}_{\;}^{\;}}{2πm}$或$\frac{25{qB}_{0}^{2}}{18πm}$

点评 该题考查带电粒子在组合场中的运动，遇到带电粒子在有界磁场中的运动问题，一般思路是“画轨迹、定圆心、求半径和圆心角，然后求解”．