Question

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，第I象限内存在沿y轴负方向的匀强电场；在y＜0的空间中，存在一匀强磁场，磁场方向垂直xy平面（纸面）向外．一带电荷量为+q、质量为m的粒子（重力不计），从y轴的P₁点以速度v₀垂直y轴射入第一象限内，经过电场后从x轴上x=2h的P₂点以与x轴正方向成α角射入x轴下方的匀强磁场．带电粒子通过y轴下方的磁场偏转之后，从x轴负方向x=-h的P₃点射入第Ⅱ象限．如果当粒子进入第Ⅱ象限的同时，在第Ⅱ象限内加一方向与粒子速度方向相反的匀强电场，使得带电粒子在到达y轴之前速度减为0，然后又返回磁场中．
（1）求P₁点到坐标原点的距离以及电场强度的大小；
（2）求匀强磁场的磁感应强度B的大小；
（3）求带电粒子第四次经过x轴时的坐标以及之前在磁场中运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，由运动的合成和分解法，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解P₁到坐标原点的距离及电场强度的大小；
（2）带电粒子进入磁场后由洛伦兹力提供向心力而做匀速圆周运动，画出其运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律求磁感应强度B．
（3）粒子进入第二象限时，在匀强电场中做有往复的匀变速直线运动，画出带电粒子第四次经过x轴以前的运动轨迹，根据几何知识求出坐标．根据时间与周期的关系求解粒子磁场中运动的总时间．

解答 解：（1）带电粒子在第Ⅰ象限的电场中做类平抛运动，有
沿x方向：v_x=v₀，2h=v₀t    
沿y方向：v_y=v₀tanα，v_y=at
由牛顿第二定律得：a=$\frac{qE}{m}$                 
由以上各式解得电场强度大小 E=$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$
P₁点到坐标原点的距离 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=htanα
（2）粒子在磁场中做圆周运动的半径 R=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{m{v}_{0}}{qBcosα}$
由几何关系得 R=$\frac{3h}{2sinα}$ 
联立解得 B=$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$        
（3）带电粒子在第四次到达x轴之前的运动轨迹如图所示．
设P₄点的横坐标为-（△x+h），由图可知△x=2Rsinα=3h 
经分析可得P₄的坐标为（-4h，0）；
由于带电粒子两次在磁场中运动的过程正好拼成一个完整的圆，所以在磁场中运动的总时间为
  t=T=$\frac{2πm}{qB}$=$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$
答：
（1）P₁点到坐标原点的距离为htanα，电场强度的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}tanα}{2qh}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}tanα}{3hq}$；
（3）带电粒子第四次经过x轴时的坐标为（-4h，0），之前在磁场中运动的总时间为$\frac{3πh}{{v}_{0}tanα}$．

点评 本题的解题关键是画出带电粒子的运动轨迹，运用几何知识求出坐标与轨迹半径的关系，还要抓住周期性进行分析．