Question

12．“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则（　　）

• A． 小球运动到最低点Q时，处于失重状态
• B． 小球初速度v₀越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大
• C． 当v₀＞$\sqrt{6gl}$时，小球一定能通过最高点P
• D． 当v₀＜$\sqrt{gl}$时，细绳始终处于绷紧状态

Answer 1

分析 根据加速度的方向判断小球处于超重还是失重．根据牛顿第二定理，结合动能定理得出最高点和最低点拉力差的关系式，判断拉力差与初速度是否有关．根据牛顿第二定理得出最高点的最小速度，根据动能定理得出初速度的最小值．根据动能定理求出不越过四分之一圆周的最小初速度，从而判断绳子是否处于绷紧状态．

解答 解：A、小球运动到最低点Q时，加速度的方向向上，处于超重状态，故A错误．
B、设小球在P点的速度为v₁，根据牛顿第二定律得：$mg+{F}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{l}$，解得：${F}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{l}$-mg，设小球在Q点的速度为v₂，根据牛顿第二定律得：${F}_{2}-mg=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，解得：${F}_{2}=mg+m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{l}$，根据动能定理得：$mg•2l=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，联立解得：△F=F₂-F₁=6mg，可知拉力差与小球的初速度无关，故B错误．
C、小球通过最高点的最小速度v=$\sqrt{gl}$，根据动能定理得：$-mg•2l=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得初速度的最小值为：v₀=$\sqrt{5gl}$，故C正确．
D、根据动能定理得，$-mgl=0-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$，解得不越过四分之一圆周的最小速度${v}_{0}=\sqrt{2gl}$，可知当v₀＜$\sqrt{gl}$时，细绳始终处于绷紧状态，故D正确．
故选：CD．

点评 本题考查了动能定理、牛顿第二定律的综合运用，知道最高点和最低点向心力的来源，注意绳子绷紧要满足的条件：1、越过最高点，2、不越过四分之一圆周．