Question

6．我国成功发射了“嫦娥一号”探月卫星，标志着中国航天正式开始了深空探测新时代．已知月球的半径约为地球半径的$\frac{1}{4}$，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$．地球半径R_地=6.4×10³km，取地球表面的重力加速度g近似等于 π²．求绕月球飞行卫星的周期最短为多少？

Answer 1

分析 当卫星贴近月球表面做圆周运动时，周期最小，根据万有引力提供向心力和万有引力等于重力求出卫星的最小周期．

解答 解：最短的卫星在很靠近月球表面的轨道上运行，轨道半径可看成月球的半径．设月球的半径为R_月、月球表面的重力加速度为g_月，卫星的最短周期为T，则$G\frac{{{M_月}m}}{R_月^2}=m{（\frac{2π}{T}）^2}{R_月}$，
$G\frac{{{M_月}m}}{R_月^2}=m{g_月}$
将${R_月}=\frac{R_地}{4}$，${g_月}=\frac{1}{6}g$，代入可得       
 $T=2π\sqrt{\frac{{3{R_地}}}{2g}}$
代入数据解得卫星的最短周期约为$T=1600\sqrt{15}$s．
答：绕月球飞行卫星的周期最短为$1600\sqrt{15}s$．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．