Question

17．Q为一个原来静止在光滑水平面上的物体，质量为M，它带有一个凹形的不光滑轨道，轨道的ab段是水平的直线，bc段是位于竖直平面内半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧，ab恰是圆弧bc的切线，P是另一个可看作质点的小物体，质量为m，它与轨道间的动摩擦因数为μ，物体P以沿水平方向的初速度v₀冲上Q的轨道，已知它恰好能到达轨道顶端c点，后又沿轨道滑下，并最终在a点停止滑动，然后与Q一起在水平面上运动．
①求P从a点滑动到c点的过程中，系统产生的热量；
②经过轨道的哪个位置时（要求用图中的角θ表示），Q的速度达到最大？

Answer 1

分析 （1）当P到达C点，P、Q具有共同的水平速度v，根据系统水平方向动量守恒，求出共同速度，再根据系统的能量守恒列方程，求解热量Q．
（2）分析P从C滑到b的过程中Q的受力，作出力图，只有Q在水平方向受力平衡时速度才最大，即可根据力图求解．

解答 解：（1）当P到达C点，P、Q具有共同的水平速度v，则系统水平方向动量守恒有：
mv₀=（m+M）v
根据系统的能量守恒有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$（m+M）v²+mgR+Q
Q=$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR
（2）分析P从C滑到b的过程中Q的受力．如图所示，只有Q在水平方向受力平衡时速度才最大，此时有
fcosθ=Nsinθ
而 f=μN
故tgθ=μ
即P所在位置的半径与竖直方向的夹角为θ=arctgμ
答：
（1）P从a点滑动到C点过程中，系统产生的热量为$\frac{Mm{v}_{0}^{2}}{2（m+M）}$-mgR；
（2）P所在位置的半径与竖直方向的夹角为θ=arctgμ时，Q的速度达到最大

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的综合题，关键要根据Q的受力情况，判断出其在水平方向的合力为零时速度最大这个临界条件．