Question

5．如图，一个质量为0.6kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧（不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失）．已知圆弧的半径R=0.3m，θ=60°，小球到达A点时的速度v_A=4m/s．g取10m/s²，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v₀；
（2）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力．
（3）若圆弧轨道粗糙，小球恰好能够经过最高点C，求此过程小球克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，说明到到A点的速度v_A方向与水平方向的夹角为θ，这样可以求出初速度v₀；
（2）由动能定理求出小球到达C点时的速度，然后应用牛顿第二定律求出轨道对球的支持力，再求出压力；
（3）应用牛顿第二定律求出小球到达C点时的速度，然后应用动能定理求出克服摩擦力做的功．

解答 解：（1）小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，
小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，
小球的初速度：v₀=v_x=v_Acosθ=4×0.5m/s=2m/s；
（2）从A到C过程，由动能定理得：
-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
在C点，由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，
解得：F=8N，由牛顿第三定律得，
小球对轨道的压力大小F′=F=8N，方向：竖直向上；
（3）小球恰好能够经过最高点C，在C点，
由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{v{′}_{C}^{2}}{R}$，
从A到C过程，由动能定理得：
-mgR（1+cosθ）-W=$\frac{1}{2}$mv′_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²，
解得，克服摩擦力做功：W=2J；
答：（1）小球做平抛运动的初速度v₀为2m/s，方向：水平向右．
（2）小球到达圆弧最高点C时对轨道的压力大小为8N，方向：竖直向上．
（3）若圆弧轨道粗糙，小球恰好能够经过最高点C，此过程小球克服摩擦力所做的功为2J．

点评 本题是动量守恒定律、平抛运动和圆周运动相结合的典型题目，除了运用动量守恒定律、平抛运动和圆周运动的基本公式外，求速度的问题，动能定理不失为一种好的方法．