Question

8．如图1所示，轻质弹簧原长为2L，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为L．现将该弹簧水平放置（如图2所示，弹簧图略缩小），一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5L的水平轨道，B端与半径为L的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD在竖直方向上，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ=0.5．用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度为L处，然后释放P，P开始沿轨道运动，重力加速度为g．

（1）求当弹簧压缩至长度为三时的弹性势能E_p；
（2）若P的质量为m，求物体离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离s；
（3）为使物块P滑上圆轨道后又能沿圆轨道滑回，求物块P的质量取值范围．

Answer 1

分析 （1）先研究弹簧竖直的情况，根据系统的机械能守恒求出弹簧最大的弹性势能；
（2）弹簧如图放置时，由于弹簧的压缩量等于竖直放置时的压缩量，两种情况弹簧的弹性势能相等．由能量守恒定律求出物体P滑到B点时的速度，由机械能守恒定律求出物体P到达D点的速度．物体P离开D点后做平抛运动，由平抛运动的规律求水平距离；
（3）根据能量守恒定律列式和临界条件求解．

解答 解：（1）由机械能守恒定律知，弹簧长度为L时的弹性势能为E_P，
所以有：E_P=5mgL
（2）设P到达B点时的速度大小为v_B，由能量守恒定律得：E_P=$\frac{1}{2}$mv_B²+μmg（5L-L）
代入数据解得：v_B=$\sqrt{6gL}$
设P滑到D点时的速度为v_D，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_B²=$\frac{1}{2}$mv_D²+2mgL
解得：v_D=$\sqrt{2gL}$
物体从D点以速度v_D水平射出，设P落回到轨道AB所需时间为t
竖直方向上：2L=$\frac{1}{2}$gt²
水平方向上：s=v_Dt
联立解得：s=2$\sqrt{2L}$
（3）设P的质量为M，为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于0，
则有：5mgL＞4μMgL
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C，
则有：$\frac{1}{2}$Mv_B²≤MgL
由能量关系有：E_P=$\frac{1}{2}$Mv_B²+4μMgL
解得：$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m
答：（1）当弹簧压缩至长度为L时的弹性势能为5mgL；
（2）物体离开圆轨道后落至AB上的位置与B点之间的距离为2$\sqrt{2L}$；
（3）物块P的质量取值范围为$\frac{5}{3}$m≤M≤$\frac{5}{2}$m．

点评 解决本题时要抓住弹簧的形变量相等时弹性势能相等这一隐含的条件，正确分析能量是如何转化，分段运用能量守恒定律列式是关键．