题目内容
6．一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近该行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该行星上．飞船上备有以下实验器材：①精确秒表一只；②已知质量为m的物体一个；③弹簧秤一个．若宇航员在绕行时及着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该星球的半径R及星球的质量M（已知万有引力常量为G，忽略行星的自转）．（1）宇航员两次测量的物理量分别应是飞船在靠近行星的轨道上运行的周期T、着陆后质量为m的物体的重力F
（2）用所测数据求出该星球的半径R表达式$R=\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；质量M的表达式$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{15{π}^{4}G{m}^{3}}$．
分析 通过万有引力提供向心力、万有引力等于重力去求行星的质量和半径，从而得知所要测量的物理量及实验器材．
解答 解：（1）用停表测出飞船在靠近行星的轨道上运行的周期T，用弹簧秤测出着陆后质量为m的物体的重力F．
（2）根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，
又万有引力等于重力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=F$
联立解得$R=\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$，$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{15{π}^{4}G{m}^{3}}$．
故答案为：（1）飞船在靠近行星的轨道上运行的周期T、着陆后质量为m的物体的重力F．
（2）$R=\frac{F{T}^{2}}{4{π}^{2}m}$；$M=\frac{{F}^{3}{T}^{4}}{15{π}^{4}G{m}^{3}}$
点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，以及万有引力等于重力这两大理论．
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