Question

如图所示，一个水平放置的圆桶绕轴OO′匀速转动，转动角速度ω=2.5π rad/s，桶壁上P处有一圆孔，桶壁很薄，桶的半径R=2m．当圆孔运动到桶的上方时，在圆孔的正上方h=3.2m处有一个小球由静止开始下落，已知圆孔的半径略大于小球的半径．试通过计算判断小球是否和圆桶碰撞（不考虑空气阻力，g取10m/s²）．

Answer 1

分析：小球若能从圆孔中进去还正好从圆孔中出来，就不会跟圆筒相撞，否则就会相撞，设小球下落h所用时间t₁，经过圆桶所用时间为t₂，求出这两段时间，再求出圆筒的周期，根据时间与周期的关系即可解题．

解答：解：设小球下落h所用时间t₁，经过圆桶所用时间为t₂，则h=

1

2

gt²
解得t₁=0.8 s 
h+2R=

1

2

g（t₁+t₂）²
解得t₂=0.4 s  
圆桶的运动周期为T=

2π

ω

=

2π

2.5π

 s=0.8 s．
由于t₁=T，小球到达圆桶时，圆桶正好转一周，圆孔又回到圆桶上方，小球可以进入圆桶内，不会相碰；
又因为t₂=

1

2

T，小球进入圆桶后，圆桶转半周，圆孔转到圆桶正下方时，小球也正好到达圆桶的正下方，小球可以从圆桶中出来，不会相碰；
由以上分析可知，小球和圆桶不会相碰．

点评：本题是自由落体运动和圆周运动相结合的题目，比较有新意，要抓住小球运动时间与圆筒的周期之间的关系求解，难度适中．