Question

如图所示，半径为R的光滑圆轨道竖直放置，长为2R的轻质杆两端各固定一个可视为质点的小球A、B，把轻杆水平放入圆形轨道内，若m，2m，m₀，m，重力加速度为g，现由静止释放两球，当轻杆到达竖直位置时，求：
（1）A、B两球的速度大小；
（2）A球对轨道的压力；
（3）要使轻杆到达竖直位置时，轻杆上刚好无弹力，A、B两球的质量应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）两球运动的速度相等；而小球在运动过程中机械能守恒，由机械能守恒定律可求得两球的速度大小；
（2）小球做圆周运动，由合外力充当向心力，由牛顿第二定律可求得A球对轨道的压力；
（3）若要使轻杆上刚好没有压力，则重力恰好充当向心力，再由机械能守恒定律可求得AB两球的质量关系．

解答：解：
（1）设杆运动到竖直位置时，A、B两球的速度均为v₁ 
对AB系统机械能守恒：m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A+m_B）v₁²
解得：v₁=

2 3 gR

    
（2）在竖直位置时，设杆对B球的强力为F_NB，轨道对A球的弹力为F_NA
对B球 m_Bg+F_ND=m_B

v 2 1

R

  
F_ND=

1

3

mg
∴杆对B球有向上的支持力，对A球有向下压力
对A球：F_NA-m_Ag-

1

2

mg=m_A

v 2 1

R

解得：F_NA=

11

3

mg
由牛顿第三定律，知A球对轨道的压力为F_N=

11

3

mg
（2）要使轻杆到达竖直位置时，杆上恰好无弹力作用B球需满足
m_Bg=m_B

v 2 2

R

对AB系统机械能守恒 m_AgR-m_BgR=

1

2

（m_A-m_B）v₂²
解得m_A=3m_B；
答：（1）两球速度均为

2 3 gR

；（2）A球对轨道的压力为

11

3

mg；（3）AB两球的质量关系为m_A=3m_B．

点评：本题考查机械能守恒定律及牛顿第二定律的应用，要明确两球的速度大小相等．