Question

9．如图所示，装置BO′O可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°．已知小球的质量m=1kg，细线AC 长L=1m，B点距C点的水平和竖直距离相等．（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，结果可用根式表达）
（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，求角速度ω₁的大小；
（2）若装置以ω₂匀速转动时，细线AB刚好竖直且张力为零，求此时角速度ω₂的大小．

Answer 1

分析 （1）由静止时受力平衡求得细线AB上的张力，进而求得匀速转动时的向心力，从而求得加速度；
（2）由几何关系求得半径，进而根据受力求得向心力，从而求得加速度．

解答 解：（1）细线AB上张力恰为零时有：小球所受合外力为mgtan37°，应用牛顿第二定律可得：$mgtan37°=m{{ω}_{1}}^{2}Lsin37°$，所以，${ω}_{1}=\sqrt{\frac{mgtan37°}{mLsin37°}}=\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{1×0.8}}rad/s$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$；
（2）装置静止时细线AB水平，细线AC与竖直方向的夹角θ=37°，B点距C点的水平和竖直距离相等，所以，B点到OO′的距离为d=Lcos37°=0.8m；
若装置以ω₂匀速转动时，细线AB刚好竖直且张力为零，则细线与OO′之间的夹角为θ，那么，$sinθ=\frac{d}{L}=0.8$，
所以，此时合外力F=mgtanθ，应用牛顿第二定律可得：$F=mgtanθ=m{{ω}_{2}}^{2}d$，
所以，${ω}_{2}=\sqrt{\frac{mgtanθ}{md}}=\sqrt{\frac{gtanθ}{d}}=\sqrt{\frac{10×\frac{4}{3}}{0.8}}rad/s$=$\frac{10\sqrt{6}}{6}rad/s$；
答：（1）若装置匀速转动的角速度为ω₁，细线AB上的张力为零而细线AC与竖直方向夹角仍为37°，则角速度ω₁的大小为$\frac{5\sqrt{2}}{2}rad/s$；
（2）若装置以ω₂匀速转动时，细线AB刚好竖直且张力为零，则此时角速度ω₂的大小为$\frac{10\sqrt{6}}{6}rad/s$．

点评 在求解匀速圆周运动的相关物理量时，一般根据受力分析求得合外力，然后求得向心力，再利用向心力公式求解速度、半径、周期等物理量．