Question

5．如图所示，高、低两水平面之间平滑连接有一倾角为θ的斜面，两平行导轨分别固定在高面与斜面上，弯折处接有电键S，且处于打开状态，导轨间距为L．高面和斜面区域磁场的磁感应强度大小均为B，方向与面垂直；低面有场区域内的磁感应强度大小未知，但等大反向，垂直于面．一质量为m，轨间电阻为R的金属棒垂直导轨置于高面导轨的磁场区域内，一每边电阻为R，边长为L的正方形单匝闭合金属线框质量也为m，被一外力挤压在斜面上且与导轨端口紧密接触．导轨电阻不计，忽略摩擦阻力和空气阻力．现对棒施加一水平向右的外力使其匀加速运动，达到某一速度时，撤去挤压线框的外力，线框恰好不下滑．已知重力加速度为g．
（1）求棒的这一速度大小；
（2）若从静止到达这一速度过程中，棒上产生的热量为Q，求此过程外力对棒做的功；
（3）闭合电键，线框下滑完全进入低面无场区，若其刚要进入低面磁场边界线M时的速度为v₀，刚完全穿出磁场分界线N时恰好静止，求线框穿越M、N过程中产生的热量之比（M、N间距大于L）．

Answer 1

分析 （1）金属框恰好静止，则受力平衡，对金属框进行受力分析，由共点力平衡求出安培力；由F=BIL求出电流，由法拉第电磁感应强度和欧姆定律，联立即可求出棒的速度；
（2）由动能定理结合功能关系即可求出；
（3）向根据法拉第电磁感应强度求出两个过程中的平均电动势，然后求出平均感应电流以及平均安培力，再结合动量定理与功能关系，联立即可求出．

解答 解：（1）导体棒上产生的电动势：E=BLv
电路中的电流：I=$\frac{E}{{R}_{总}}$
而线框的电阻是由R与3R的两部分电阻并联，则：${R}_{总}=R+\frac{3R•R}{3R+R}=\frac{7}{4}R$
根据并联电路的分流关系可知，线框上两部分电阻上的电流关系为：${I}_{1}=\frac{1}{4}I$和${I}_{1}=\frac{3}{4}I$
对线框进行受力分析可知，线框受到重力、斜面的支持力和两部分的安培力，由共点力平衡可得：
$B•\frac{1}{4}IL+B•\frac{3}{4}IL=mgsinθ$
联立可得：v=$\frac{7mgRsinθ}{4{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）棒上产生的热量为Q，根据Q=I²Rt可得，线框上3R的部分与R的部分上产生的热量：
${Q}_{1}=（\frac{1}{4}I）^{2}•3Rt=\frac{3}{16}{I}^{2}Rt=\frac{3}{16}Q$；
${Q}_{2}={（\frac{3}{4}I）}^{2}Rt=\frac{9}{16}{I}^{2}Rt=\frac{9}{16}Q$
所以电路中产生的总热量：${Q}_{总}=Q+{Q}_{1}+{Q}_{2}=Q+\frac{3}{16}Q+\frac{9}{16}Q=\frac{7}{4}Q$
根据功能关系可知，拉力做的功转化为棒的动能和电路中的热量，所以：
W=$\frac{7}{4}Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立得：W=$\frac{49{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{7}{4}Q$
（3）设低水平面上的磁感应强度为B′，线框进入M的过程中，由动量定理得：
$-B′•\frac{B′L•\overline{{v}_{1}}}{4R}•L•{t}_{1}=m{v}_{1}-m{v}_{0}$
同理，线框穿过N的过程中：$-2B′•\frac{2B′•L\overline{{v}_{2}}}{4R}•L•{t}_{2}=0-m{v}_{1}$
又：$\overline{{v}_{1}}{t}_{1}=\overline{{v}_{2}}{t}_{2}=L$
根据功能关系可得：$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}}$
联立得：$\frac{{Q}_{1}}{{Q}_{2}}=\frac{9}{16}$
答：（1）棒的这一速度大小为$\frac{7mgRsinθ}{4{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）若从静止到达这一速度过程中，棒上产生的热量为Q，此过程外力对棒做的功为$\frac{49{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{32{B}^{4}{L}^{4}}+\frac{7}{4}Q$；
（3）闭合电键，线框穿越M、N过程中产生的热量之比为$\frac{9}{16}$．

点评 该题考查了多个知识点的综合运用．做这类问题我们还是应该从运动过程和受力分析入手研究，运用一些物理规律求解问题．动能定理、动量定理的应用非常广泛，我们应该首先考虑．