Question

8．如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度x=5m，轨道CD足够长且倾角θ=37°，A、D两点离轨道BC的高度分别为h₁=4.30m，h₂=1.35m．现让质量为m的小滑块自A点由静止释放．已知小滑块与轨道BC间的动摩擦因数为μ=0.5，重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小滑块第一次到达C点时的速度大小；
（2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔；
（3）小滑块从A点下落至最终停止运动整个过程在BC段的总路程；
（4）小滑块最终停止位置距B点的距离．

Answer 1

分析 （1）A到C的过程中，重力与摩擦力做功，由动能定理即可求出C点的速度；
（2）分析滑块在CD之间的受力，由动量定理即可求出时间；（也可以由牛顿第二定律求出加速度，然后由运动的对称性即可求出时间；）
（3）整个的过程中重力和摩擦力对滑块做功，滑块的重力势能转化为内能，由功能关系即可求出滑块在BC段的总路程．
（4）由小滑块从A点下落至最终停止运动整个过程在BC段的总路程，结合BC之间的距离，由几何关系即可求出．

解答 解：（1）滑块从A到C的过程中，重力与摩擦力做功，由动能定理得：
$mg{h}_{1}-μmgx=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
代入数据所以：v₁=6m/s
（2）滑块在CD之间只受到重力和摩擦力的作用，合力的方向沿斜面向下，为：
F_合=mgsin37°=m×10×0.6=6m
当物体到达最高点时的速度为0，由动量定理得：
-F_合•t₁=0-mv₁
代入数据整理得：t₁=1s
此后，滑块向下运动，受到的合力仍然是6m，方向沿斜面向下，与向上的运动正好是逆过程，所以向下运动到达C的时间也是1s，所以小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔是：
t=2t₁=2s
（3）整个的过程中重力和摩擦力对滑块做功，滑块的重力势能转化为内能，由功能关系得：
mgh₁=μmgs
所以：$s=\frac{{h}_{1}}{μ}=\frac{4.30}{0.5}=8.6$m
即滑块在BC段的总路程是8.6m．
（4）由于小滑块从A点下落至最终停止运动整个过程在BC段的总路程是8.6m，BC之间的距离是5m，所以滑块从C向B运动的距离：△x=s-x=8.6-5=3.6m
离B点的距离：L=x-△x=5-3.6=1.4m
答：（1）小滑块第一次到达C点时的速度大小是6m/s；
（2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔是2s；
（3）小滑块从A点下落至最终停止运动整个过程在BC段的总路程是8.6m；
（4）小滑块最终停止位置距B点的距离是1.4m．

点评 该题通过滑块在A与D之间的运动，考查滑块的机械能与内能之间的相互转化，抓住能量转化的方向与摩擦力做功之间的关系，即可很好地解答该题．该题的后3问也可以使用牛顿运动定律来解答，太麻烦．