Question

13．“神州八号”与“天宫一号”对接前各自绕地球运动，设“天宫一号”在半径为r₁的圆轨道上运动，周期为T₁，“神州八号”在半径为r₂的圆轨道上运动，r₁＞r₂，则（　　）

• A． “天宫一号”的运行速度大于7.9km/s
• B． “神州八号”的周期为T₂=T₁$\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$
• C． 地球的质量为$M=\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• D． 地球表面的重力加速度为$g=\frac{{4{π^2}{r_1}}}{T_1^2}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得出速度公式$v=\sqrt{\frac{GM\;}{r}}$，由$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=$mr（\frac{2π}{{T}_{\;}^{\;}}）_{\;}^{2}$，得出周期由于半径的关系．可以知道物体的速度与轨道半径一一对应；又因为$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=ma$，得出加速度$a=\frac{GM}{{r}^{2}}$，加速度的与轨道半径的关系．

解答 解：A、根据题意可知，“天宫一号”的在轨运行高度大于于近地卫星的高度，由卫星的环绕速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$可知，高度越低速度越大，所以“天宫一号”的在轨运行速度小于第一宇宙速度．故A错误；
B、根据$\frac{GMm}{{r}_{\;}^{2}}$=mr$（\frac{2π}{T}）_{\;}^{2}$得，T=$\sqrt{\frac{{{4π}_{\;}^{2}r}_{\;}^{3}}{GM}}$  ①，所以：$\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$，${T}_{2}={T}_{1}\sqrt{\frac{{{r}_{2}}^{3}}{{{r}_{1}}^{3}}}$，故B正确；
C、由①式得：$M=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$．故C正确；
D、设地球的半径是R，由$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$地球表面的重力加速度为：$g=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{{T}_{1}^{2}{R}^{2}}$．故D错误．
故选：BC

点评 一个天体绕中心天体做圆周运动时万有引力提供向心力，灵活的选择向心力的表达式是我们顺利解决此类题目的基础．我们要按照不同的要求选择不同的公式来进行求解．