Question

如图，在xOy平面内，第I象限中有匀强电场，场强大小为E，方向沿y轴正方向．在x轴的下方有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，电、磁场区域足够大．今有一个质量为m、电荷量为e的电子（不计重力），从y轴上的P点以初速度v₀垂直于电场方向进入电场，经电场偏转后，沿着x轴正方向成45°角进入磁场，并能返回到原出发点P． 求：
（1）P点离坐标原点的距离h；
（2）电子从P点出发经多长时间第一次返回P点？

Answer 1

分析：（1）电子在电场中做类平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动．在A点电子的速度与x轴成45°角，则知电子经过A点的速度为v．根据动能定理研究电子从P到A的过程，可求出h．
（2）分三段研究电子运动的时间：1、电子在电场中，由竖直方向的分速度v_y=v₀=at₁，而a=

eE

m

，可以求出时间t₁．2、电子在磁场中，画出轨迹，由几何知识确定出轨迹对应的圆心角θ，在由洛伦兹力充当向心力求出速度，进而解得T，可求出时间t₂.3、电子从D到P做匀速运动，可以求出t₃，即可求出总时间

解答：解：
（1）带电粒子进入磁场时速度为：v
  v=

v0

sin45°

=

2

v0
由动能定理：
eEh=

1

2

mv2-

1

2

mv02
解得：
h=

mv02

2eE

（2）带点粒子运动轨迹如图：
，
电子从P到A的过程，加速度为a=

eE

m

，此过程时间为t₁：
t1=

v

a

=

v0

a

=

mv0

eE

电子在磁场中运动时间为t₂，粒子在磁场做

3

4

的圆周运动，其周期为T
从A到C再到D，由洛仑兹力提供向心力，
evB=m

v2

R

解得：R=

mv

eB

又：
T=

2πR

v

=

2πm

eB

故：
t2=

3

4

×

2πm

eB

=

3πm

2eB

电子离开磁场到达P点时间为t₃    
 t3=

2 h

v

=

2 × mv02 2eE

2 v0

=

mv0

2Ee

故电子从P点出发第一次回到P点所用时间：t=t₁+t₂+t₃=

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

答：
（1）P点离坐标原点的距离h=

mv02

2eE

（2）电子从P点出发经

3mv0

2eE

+

3πm

2eB

第一次返回P点

点评：电子在电场中做类平抛运动的研究方法是运动的分解，而磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹，都是常用的思路，难度不大．