题目内容

如图所示，一辆质量为1.5kg的小车静止在光滑水平面上，一个质量为0.50kg的木块，以2.0m/s的速度水平滑上小车，最后与小车以相同的速度运动．小车上表面水平，木块与车上表面的动摩擦因数是0.20．g取10m/s2，求
（1）木块与小车共同运动的速度的大小；
（2）木块在小车上相对滑行的时间；
（3）设小车与光滑水平面足够长，若水平面右端也有一高度与左端一样的平台，且小车与两边平台碰撞过程中均没有能量损失，求从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间及木块在小车上滑行的路程．
分析：（1）根据运动过程中动量守恒即可求解；
（2）根据动量定理即可求解；
（3）分M与m的大小关系分两种情况进行讨论，根据动量守恒定律及动能定理求出滑动路程的通项，根据动量定理求出时间的通项，再结合数学知识即可求解．
解答：解：（1）根据运动过程中动量守恒得：
mv0=（M+m）v1
解得：v1=
m
M+m
v0=0.5m/s
（2）根据动量定理得：
μmgt=Mv1-0
t1=
Mv0
(M+m)μg
=0.75s
（3）若M＞m，从第一次木板以v1反弹开始，有
Mv1-mv1=（M+m）v2
Mv2-mv2=（M+m）v3…
Mvn-1-mvn-1=（M+m）vn
解得：
v2=
M-m
M+m
v1
v3=
M-m
M+m
v2
…
vn=
M-m
M+m
vn-1=(
M-m
M+m
)n-1
m
M+m
v0
根据动能定理得：
μmgx1=
1
2
mv02-
1
2
(M+m)v12
μmgx2=
1
2
mv12-
1
2
(M+m)v22
…
μmgxn=
1
2
mvn2-
1
2
(M+m)vn-12
解得：
x1=
M
2μg(M+m)
v02
x2=
2M
μg(M+m)
v12
x3=
2M
μg(M+m)
v22=
2M
μg(M+m)
(
M-m
M+m
)2v12

xn=
2M
μg(M+m)
vn-12=
2M
μg(M+m)
(
M-m
M+m
)2(n-2)v12

x2，x3，x4，…xn是一个首项为
2M
μg(M+m)
v
2
1

公比为(
M-m
M+m
)2 的等比数列，共有n-1项
Sn=x1+
2M
μg(M+m)
v
2
1
n
n=2
(
M-m
M+m
)2(n-2)
=x1+
2M
μg(M+m)
v
2
1
?
1-(
M-m
M+m
)2(n-1)
1-(
M-m
M+m
)2

=
M
2μg(M+m)
v
2
0
+
2M
μg(M+m)
v
2
1
?
1-(
M-m
M+m
)2(n-1)
1-(
M-m
M+m
)2

=
M
2μg(M+m)
v
2
0
+
2M
μg(M+m)
?(
m
M+m
)2
v
2
0
?
1-(
M-m
M+m
)2(n-1)
1-(
M-m
M+m
)2

=
M
v
2
0
2μg(M+m)
+
m
v
2
0
2μg(M+m)
?[1-(
M-m
M+m
)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt2=Mv2-Mv1
-μmgt3=Mv3-Mv2…
-μmgtn=Mvn-Mvn-1
t2=
2M
μg(M+m)
v1
t3=
2M
μg(M+m)
v2=
2M
μg(M+m)
 ?
M-m
M+m
v1
tn=
2M
μg(M+m)
vn-1=tn=
2M
μg(M+m)
 ?(
M-m
M+m
)n-2v1

t2，t3，t4，…tn是一个首项为
2M
μg(M+m)
v1 公比为 (
M-m
M+m
) 的等比数列，共有n-1项
tn=t1+
2M
μg(M+m)
v1
n
n=2
(
M-m
M+m
)n-2=t1+
2M
μg(M+m)
v1?
1-(
M-m
M+m
)(n-1)
1-(
M-m
M+m
)

=
Mv0
(M+m)μg
+
2M
μg(M+m)
v1?
1-(
M-m
M+m
)(n-1)
1-(
M-m
M+m
)

=
Mv0
(M+m)μg
+
2M
μg(M+m)
?
m
M+m
v0?
1-(
M-m
M+m
)(n-1)
1-(
M-m
M+m
)

=
Mv0
μg(M+m)
?[2-(
M-m
M+m
)(n-1)]
同理可得：若M＜m，
x2，x3，x4，…xn是一个首项为
2M
μg(M+m)
v
2
1

公比为(
m-M
m+M
)2 的等比数列，
共有n-1项
Sn=x1+
2M
μg(M+m)
v
2
1
n
n=2
(
m-M
m+M
)2(n-2)
=x1+
2M
μg(M+m)
v
2
1
n
n=2
(
m-M
m+M
)2(n-2)
=
M
2μg(M+m)
v
2
0
+
2M
μg(M+m)
v
2
1
?
1-(
m-M
m+M
)2(n-1)
1-(
m-M
m+M
)2

=
M
2μg(M+m)
v
2
0
+
2M
μg(M+m)
?(
m
M+m
)2
v
2
0
?
1-(
m-M
m+M
)2(n-1)
1-(
m-M
m+M
)2

=
M
v
2
0
2μg(M+m)
+
m
v
2
0
2μg(M+m)
?[1-(
m-M
m+M
)2(n-1)]
在板上滑行的时间（不包含从共速至与平台碰撞的时间）
-μmgt2=mv2-mv1
-μmgt3=mv3-mv2
…
-μmgtn=mvn-mvn-1
t2=
2m
μg(m+M)
 v1
t2=
2m
μg(m+M)
 v2=
2m
μg(m+M)
 ?
m-M
m+M
v1
所以tn=
2m
μg(m+M)
 vn-1=
2m
μg(m+M)
 ?(
m-M
m+M
)n-2v1

t2，t3，t4，…tn是一个首项为
2m
μg(m+M)
v1，公比为 (
m-M
m+M
) 的等比数列，共有n-1项
tn=t1+
2m
μg(m+M)
v1
n
n=2
(
m-M
m+M
)n-2=t1+
2m
μg(m+M)
v1?
1-(
m-M
m+M
)(n-1)
1-(
m-M
m+M
)

=
Mv0
(M+m)μg
+
2m
μg(m+M)
v1?
1-(
m-M
m+M
)(n-1)
1-(
m-M
m+M
)

=
Mv0
(M+m)μg
+
2m
μg(m+M)
?
m
M+m
v0?
1-(
m-M
m+M
)(n-1)
1-(
m-M
m+M
)

=
Mv0
(M+m)μg
+
m2v0
μgM(m+M)
?[1-(
m-M
m+M
)(n-1)]．
答：（1）木块与小车共同运动的速度的大小为0.5m/s；
（2）木块在小车上相对滑行的时间为0.75s；
（3）从木块滑上小车开始到木块与小车第n共同运动的时间为
Mv0
μg(M+m)
?[2-(
M-m
M+m
)(n-1)]或
Mv0
(M+m)μg
+
m2v0
μgM(m+M)
?[1-(
m-M
m+M
)(n-1)]，木块在小车上滑行的路程为
M
v
2
0
2μg(M+m)
+
m
v
2
0
2μg(M+m)
?[1-(
M-m
M+m
)2(n-1)]或
M
v
2
0
2μg(M+m)
+
m
v
2
0
2μg(M+m)
?[1-(
m-M
m+M
)2(n-1)]．
点评：本题主要考查了动量守恒定律，动量定理，动能定理的应用，第三问要先求出通项，再结合数学知识求解，难度很大，要求较高．
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mgsinθ+kmg
mgsinθ+kmg
，上坡速度大小为
P
mgsinθ+kmg
P
mgsinθ+kmg
．
如图所示，一辆质量为500kg的汽车静止在一座半径为50m的圆弧形拱桥顶部．（取g=10m/s2）
（1）此时汽车对圆弧形拱桥的压力是多大？
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如图所示，一辆质量为 2.0×103 kg 的汽车在平直公路上行驶，若汽车行驶过程中所受阻力恒为f=2.5×103N，且保持功率为 80kw 求：
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（1）货箱运动的加速度；
（2）卡车制动时间；
（3）卡车在紧急刹车过程受到地面的阻力．

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