题目内容

12．如图所示，两金属板正对并水平放置，分别与平行金属导轨连接，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域有垂直导轨所在平面的匀强磁场．金属杆ab与导轨垂直且接触良好，并一直向右匀速运动．某时刻ab进入Ⅰ区域，同时一带电小球从O点沿板间中轴线水平射入两板间．ab在Ⅰ区域运动时，小球匀速运动；ab从Ⅲ区域右边离开磁场时，小球恰好从金属板的边缘离开．已知板间距为4d，导轨间距为L，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域的磁感应强度大小相等、宽度均为d．带电小球质量为m，电荷量为q，ab运动的速度为v0，重力加速度为g．求：

（1）小球带何种电荷及磁感应强度B的大小；
（2）ab在Ⅱ区域运动时，小球的加速度a大小；
（3）要使小球恰好从金属板的边缘离开，ab运动的速度v0要满足什么条件．

分析 （1）根据ab进入Ⅰ区域，同时一带正电小球从O点沿板间中轴线水平射入两板间．ab在Ⅰ区域运动时，小球匀速运动，抓住小球电场力和重力相等、结合切割产生的感应电动势大小以及匀强电场的电场强度公式求出磁感应强度的大小．
（2）开始小球所受电场力与重力相等，ab在Ⅱ磁场区域运动时，小球所受的电场力大小不变，方向反向，根据牛顿第二定律求出小球的加速度．
（3）ab分别在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁场区域运动时，小球在电场中分别做匀速、类平抛和匀速运动，根据牛顿第二定律结合运动学公式求出ab运动的速度v0要满足的条件．

解答 解：（1）ab在磁场区域运动时，产生的感应电动势大小为：ε=BLv0…①
金属板间产生的场强大小为：$E=\frac{ε}{4d}$…②
ab在Ⅰ磁场区域运动时，带电小球匀速运动，有mg=qE…③
联立①②③得：$B=\frac{4dmg}{{qLv_0^{\;}}}$…④
（2）ab在Ⅱ磁场区域运动时，设小球的加速度a，依题意，有qE+mg=ma…⑤
联立③⑤得：a=2g…⑥
（3）依题意，ab分别在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ磁场区域运动时，小球在电场中分别做匀速、类平抛和匀速运动，设发生的竖直分位移分别为SⅠ、SⅡ、SⅢ；ab进入Ⅲ磁场区域时，小球的运动速度为vⅢ．则：
SⅠ=0 …⑦
SⅡ=$\frac{1}{2}•2g•{（\frac{d}{v_0}）^2}$…⑧
SⅢ=vⅢ$•\frac{d}{v_0}$…⑨
vⅢ=$2g•\frac{d}{v_0}$…⑩
又：SⅠ+SⅡ+SⅢ=2d
联立可得：${v_0}=\sqrt{\frac{3gd}{2}}$．
答：（1）磁感应强度的大小为$B=\frac{4dmg}{qL{v}_{0}^{\;}}$．
（2）ab在Ⅱ区域运动时，小球的加速度大小为2g．
（3）要使小球恰好从金属板的边缘离开，ab运动的速度v0要满足${v}_{0}=\sqrt{\frac{3gd}{2}}$．

点评 解决本题的关键理清ab棒在匀速直线运动时，小球的运动情况，根据牛顿第二定律和运动学公式综合求解．

练习册系列答案
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