Question

17．如图所示，阻值为R的电阻串接于光滑的固定在水平面上的等边三角形水平导轨OPQ中，三角形的顶点O处开口，磁感应强度为B、方向竖直向下、宽度为d的条形磁场区域与PQ平行，质量为m的导体棒中点接在劲度系数为k的弹簧的一端，弹簧的另一端固定．导体棒始终与PQ平行，且与导轨保持良好接触，弹簧为自然长度时导体棒静止在M处，现将导体棒拉至N处后自由释放，若M至顶点O距离为2.5d，以及M、N到磁场边沿的距离均为$\frac{d}{2}$，导轨和导体棒的阻值忽略不计，已知弹簧弹性势能E_p与弹簧进度系数k，弹簧形变量x的关系式为E_p=$\frac{1}{2}$kx²，现测得导体棒从N处无初速度释放后第一次向右通过磁场右边界b时的速度为v，求：
（1）导体棒第一次向右将要离开磁场时通过电阻R的电流大小及方向．
（2）导体棒第一次向右运动通过磁场区域的过程，通过电阻R的电荷量q
（3）电阻R产生的焦耳热的最大值Q．

Answer 1

分析 （1）导体棒第一次向右将要离开磁场时，由几何关系求出导体棒接入电路的长度L，由公式E=BLv求感应电动势，由欧姆定律求感应电流，由右手定则判断感应电流的方向．
（2）第一次穿越条形磁场区域过程中，电阻R中通过的电荷量q=$\frac{△Φ}{R}$=$\frac{B△S}{R}$，由几何知识求出回路面积的变化量△S，即可求出电量q．
（3）导体棒穿过磁场区时，安培力做功产生电热，由能量守恒定律求解．

解答 解：（1）此时导体棒接入电路的长度 L=$\frac{3d}{sin60°}$
电路中的感应电动势 E=BLv…①
通过电阻的电流 I=$\frac{E}{R}$…②
联立解得：I=$\frac{2\sqrt{3}Bdv}{R}$
根据右手定则可判定通过电阻R的电流方向由P→Q    
（2）磁场左边界在导轨内的宽度为：L₁=$\frac{4d}{sin60°}$
磁场面积 S=$\frac{1}{2}（L+{L}_{1}）d$=$\frac{7\sqrt{3}}{3}{d}^{2}$…③
越过磁场的过程中导体棒的感应电动势为：$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$…④
通过电阻的平均电流为：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
通过电阻的电荷量为：q=$\overline{I}$△t…⑤
解得 q=$\frac{7\sqrt{3}}{3R}$Bd²                                
（3）根据通过守恒定律得：
$\frac{1}{2}k（2d）^{2}$=Q+$\frac{1}{2}k（0.5d）^{2}$…⑥
得 Q=$\frac{15}{8}k{d}^{2}$
答：（1）导体棒第一次向右将要离开磁场时通过电阻R的电流大小为$\frac{2\sqrt{3}Bdv}{R}$，方向为由P→Q．
（2）导体棒第一次向右运动通过磁场区域的过程，通过电阻R的电荷量q为$\frac{7\sqrt{3}}{3R}$Bd²．     
（3）电阻R产生的焦耳热的最大值Q为$\frac{15}{8}k{d}^{2}$．

点评 本题中感应电量的公式q=$\frac{△Φ}{R}$，要能由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的定义式熟练推导，在理解的基础上记住此结论．