Question

13．一单摆在山脚处的周期为T₁，将其移至山顶，保持摆长不变，周期变为T₂，山脚处到地球中心的距离为R，则山顶到山脚的高度差h=$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$．

Answer 1

分析 根据万有引力和物体受到的重力的大小相等可以求得在地面上和高度为h处的重力加速度大小的表达式，进而由单摆的周期公式可以求得高度的大小．

解答 解：设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高度为h时的重力加速度分别为：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$…①
g′=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$…②
方程左右两边相除得：$\frac{g}{g′}=\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$…③
据单摆的周期公式可知T₁=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$…④
T₂=2π$\sqrt{\frac{L}{g′}}$…⑤
两边相比得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{g′}{g}}$
即$\frac{g}{g′}=\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…⑥
联立③⑥得：$h=\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$
故答案为：$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$

点评 单摆的周期是由单摆的摆长和当地的重力加速度的大小共同决定的，在不同的地方，重力加速度的大小是不同的．