Question

14．如图所示，一个质量为m=2.0×10^-11kg，电荷量q=+1.0×10^-5C的带电微粒（重力忽略不计），从静止开始经U₁=25V电压加速后，水平进入两平行金属板间的偏转电场中．金属板长L=20cm，两板间距d=10$\sqrt{3}$cm．求：
（1）微粒进入偏转电场时的速度v是多大？
（2）若微粒射出电场过程的偏转角为θ=30°，并接着进入一个方向垂直与纸面向里的匀强磁场区，则两金属板间的电压U₂是多大？
（3）若该匀强磁场的宽度为D=10$\sqrt{3}$cm，为使微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少多大？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求带电微粒进入偏转电场时的速率v₁；
（2）带电微粒在偏转电场中做类平抛运动，将微粒的末速度分解为平行于板和垂直于板两个方向，由几何知识确定出粒子垂直于板方向的末速度，然后由动能定理列式求偏转电压；
（3）微粒恰好不从磁场右边射出时运动轨迹与右边边界相切，由几何知识确定运动半径，然后由洛伦兹力提供向心力列方程求磁感应强度的最小值．

解答 解：（1）带电微粒经加速电场加速后速率为v₁，根据动能定理有：
U₁q=$\frac{1}{2}$mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}$=$\sqrt{\frac{2×1×1{0}^{-5}×25}{2.0×1{0}^{-11}}}$=5.0×10³m/s．
（2）带电微粒在偏转电场中只受电场力作用，设微粒进入磁场时的速度为v′，则有：
v′=$\frac{{v}_{1}}{cos30°}$
得出：v′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10⁴m/s
 而v_y=$\frac{5\sqrt{3}}{3}×1{0}^{3}$m/s
粒子在电场中运动时间t=$\frac{L}{{v}_{1}}$=$\frac{20×1{0}^{-2}}{5×1{0}^{3}}$=4×10^-5s
那么粒子在电场中的加速度a=$\frac{{v}_{y}}{t}$=$\frac{\frac{5}{3}\sqrt{3}×1{0}^{3}}{4×1{0}^{-5}}$m/s²=$\frac{5\sqrt{3}}{12}×1{0}^{8}$m/s²
依据牛顿第二定律，则有：a=$\frac{q{U}_{2}}{md}$，
因此U₂=$\frac{mad}{q}$
代入数据，解得：U₂=$\frac{2×1{0}^{-11}×\frac{5\sqrt{3}}{12}×1{0}^{8}×10\sqrt{3}×1{0}^{-2}}{1×1{0}^{-5}}$V=25V．
（3）带电微粒进入磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，微粒恰好不从磁场右边射出时运动轨迹与右边边界相切，设做匀速圆周运动的轨道半径为R，由几何关系知：
R+$\frac{R}{2}$=D
由牛顿运动定律及运动学规律：
qv′B=m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，
得B=1×10^-3T．
若带电粒子不射出磁场，磁感应强度B至少为1×10^-3T．
答：（1）带电微粒进入偏转电场时的速率v₁为5.0×10³m/s；
（2）偏转电场中两金属板间的电压U₂为25V；
（3）为使带电微粒不会由磁场右边射出，该匀强磁场的磁感应强度B至少1×10^-3T．

点评 本题属于带电粒子在组合场中的运动，在电场中做类平抛运动时通常将运动分解为平行于电场方向与垂直于电场两个方向或借助于动能定理解决问题．