题目内容
【题目】如图所示，两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。大圆环半径为
，小圆环表面绝缘半径为
（
），两圆环导线每单位长度电阻均为
，它们处于匀强磁场中，磁感应强度大小为
，方向竖直向下，一每单位长度电阻为
的长直金属细杆放在大圆环平面上，并从距圆环中心左侧为
（>）的ab位置，以速度
匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与ab对称的位置cd，滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。
提示：当半径为
，长度为
的一段圆弧导线通有电流
时，圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为
，方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则；无限长直导线通有电流时，电流在距直导线距离为
处产生的磁感应强度的大小为
，其中
为已知常量。
【答案】
【解析】
如图1所示，当长直金属杆在ab位置以速度
水平向右滑动到时，因切割磁力线，在金属杆中产生由b指向a的感应电动势的大小为
①
式中
为金属杆在ab位置时与大圆环两接触点间的长度，由几何关系有
②
在金属杆由ab位置滑动到cd位置过程中，金属杆与大圆环接触的两点之间的长度可视为不变，近似为
.将②式代入①式得，在金属杆由ab滑动到cd过程中感应电动势大小始终为
③
以
、
和
分别表示金属杆、杆左和右圆弧中的电流，方向如图1所示，以
表示a、b两端的电压，由欧姆定律有
④
⑤
式中，
和
分别为金属杆左、右圆弧的弧长.根据提示，和中的电流在圆心处产生的磁感应强度的大小分别为
⑥
⑦
方向竖直向上，
方向竖直向下.
由④、⑤、⑥和⑦式可知整个大圆环电流在圆心处产生的磁感应强度为
⑧；
无论长直金属杆滑动到大圆环上何处，上述结论都成立，于是在圆心处只有金属杆的电流I所产生磁场.
在金属杆由ab滑动到cd的过程中，金属杆都处在圆心附近，故金属杆可近似视为无限长直导线，由提示，金属杆在ab位置时，杆中电流产生的磁感应强度大小为
⑨；
方向竖直向下.对应图1的等效电路如图2，杆中的电流
⑩
其中
为金属杆与大圆环两接触点间这段金属杆的电阻，
和
分别为金属杆左右两侧圆弧的电阻，由于长直金属杆非常靠近圆心，故
利用③、⑨、⑩和式可得
由于小圆环半径
，
，小圆环圆面上各点的磁场可近似视为均匀的，且都等于长直金属杆在圆心处产生的磁场.当金属杆位于ab处时，穿过小圆环圆面的磁感应通量为
当长直金属杆滑到cd位置时，杆中电流产生的磁感应强度的大小仍由式表示，但方向相反，故穿过小圆环圆面的磁感应通量为
在长直金属杆以速度从ab移动到cd的时间间隔
内，穿过小圆环圆面的磁感应通量的改变为
由法拉第电磁感应定律可得，在小圆环中产生的感应电动势为大小为
在长直金属杆从ab移动cd过程中，在小圆环导线中产生的感应电流为
于是，利用和式，在时间间隔内通过小环导线横截面的电荷量为
