Question

20．如图所示，在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界圆形匀强磁场区域（图中未画出）；在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场．一粒子源固定在x轴上的A点，A点坐标为（-L，0）．粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子，电子恰好能通过y轴上的C点，C点坐标为（0，2L），电子经过磁场偏转后恰好垂直通过第一象限内与x轴正方向成15°角的射线ON（已知电子的质量为m，电荷量为e，不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用）．求：
（1）第二象限内电场强度E的大小．
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ
（3）圆形磁场的最小半径R_m．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类似平抛运动，x方向匀速，y方向匀加速，根据运动学公式列式求解；
（2）先根据运动学公式列式求解出x、y方向的分速度，然后根据几何关系列式求解；也可以根据类似平抛运动速度偏转角的正切是位移偏转角正切的2倍直接求解；
（3）先根据洛伦兹力提供向心力求解出轨迹的半径，然后画出轨迹图，确定磁场的最小半径

解答 解：（1）从A到C的过程中，电子做类平抛运动，有：
x方向：$L=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{eE}{2m}{t}^{2}$                      
x方向：2L=vt     
联立解得：$E=\frac{m{v}^{2}}{2eL}$         
（2）设电子到达C点的速度大小为v_c，方向与y轴正方向的夹角为θ．
由动能定理，有：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}=eEL$
解得：${v}_{C}=\sqrt{2}v$
故有：$cosθ=\frac{v}{{v}_{C}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
得：θ=45°
（3）画轨迹如图所示，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径为：
$r=\frac{m{v}_{C}}{r}$
电子在磁场中偏转120°后垂直于ON射出．磁场最小半径为：
${R}_{m}=\frac{PQ}{2}=rsin60°$
得：${R}_{m}=\frac{\sqrt{6}mv}{2eB}$
答：（1）匀强电场的电场强度E的大小为$\frac{m{v}^{2}}{2eL}$；
（2）电子离开电场时的速度方向与y轴正方向的夹角θ为45°；
（3）圆形磁场的最小半径R_m为$\frac{\sqrt{6}mv}{2eB}$

点评 本题中粒子先在电场中做类似平抛运动，然后进入磁场做匀速圆周运动，要注意两个轨迹的连接点，然后根据运动学公式和牛顿第二定律以及几何关系列式求解，其中画出轨迹是关键