Question

14．如图甲所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为m，电阻为R，在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN和M′N′是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直，现金属线框由距MN的某一高度处从静止开始下落，下落过程中bc边始终保持水平，图乙是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域过程的v-t图象，图象中坐标轴上所标出的字母和重力加速度大小g均为已知量，则（　　）

• A． 金属线框初始位置的bc边到边界MN的高度为v₁t₁
• B． 匀强磁场区域的宽度为$\frac{（{v}_{1}+{v}_{2}）（{t}_{3}-{t}_{2}）}{2}$+v₁（t₂-t₁）
• C． 金属线框在进入磁场的过程中通过导线横截面的电荷量为（t₂-t₁）$\sqrt{mg{v}_{1}R}$
• D． 金属线框在离开磁场的过程中产生的焦耳热为mgv₁（t₂-t₁）+$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₃²

Answer 1

分析 由图象可知，金属框进入磁场过程中是做匀速直线运动，根据时间和速度求解金属框的边长；
根据图象判断金属框的运动性质；
由图知，金属线框进入磁场过程做匀速直线运动，重力和安培力平衡，列式可求出B．
金属框全部进入磁场做匀加速直线运动，根据v-t图象即可求出在磁场中的位移，从而求出磁场区域的宽度；
根据感应电量公式$q=\frac{△Φ}{R}$求出导线框进入磁场过程中通过导线横截面的电量；
由能量守恒定律求出在离开磁场过程中金属框产生的焦耳热．

解答 解：A、金属框在进入磁场前做自由落体运动，由v-t图象的面积可得，金属框初始位置的bc边到边界MN的高度为$\frac{1}{2}{v}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$，故A错误；
B、金属框进入磁场过程中做匀速直线运动，得金属框的边长$L={v}_{1}^{\;}（{t}_{2}^{\;}-{t}_{1}^{\;}）$，完全进入磁场中，只受重力，做加速度为g的匀加速直线运动，位移即为${t}_{2}^{\;}$-${t}_{3}^{\;}$内v-t图象与时间轴围成的面积，$s=\frac{（{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}）（{t}_{3}^{\;}-{t}_{2}^{\;}）}{2}$，所以匀强磁场区域的宽度为d=s+L=$\frac{（{v}_{1}^{\;}+{v}_{2}^{\;}）（{t}_{3}^{\;}-{t}_{2}^{\;}）}{2}+{v}_{1}^{\;}（{t}_{2}^{\;}-{t}_{1}^{\;}）$，故B正确；
C、金属框进入磁场做匀速直线运动，受力平衡$mg=BIL=\frac{{B}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}}{R}$，解得$B=\sqrt{\frac{mgR}{{L}_{\;}^{2}{v}_{1}^{\;}}}=\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{{v}_{1}^{\;}}}$，进入磁场过程中通过导线横截面的电荷量$q=\frac{△Φ}{R}$=$\frac{B{L}_{\;}^{2}}{R}$=$\frac{L}{R}\sqrt{\frac{mgR}{{v}_{1}^{\;}}}$=$（{t}_{2}^{\;}-{t}_{1}^{\;}）\sqrt{\frac{mg{v}_{1}^{\;}}{R}}$，故C错误；
D、金属框在离开磁场的过程中，减少的重力势能和减少的动能等于线框中产生的焦耳热，$Q=mgL+\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=mg${v}_{1}^{\;}$（${t}_{2}^{\;}-{t}_{1}^{\;}$）+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$，故D正确；
故选：BD

点评 本题电磁感应与力学知识简单的综合，能由图象读出线框的运动情况，选择与之相应的力学规律是解答本题的关键，要加强练习，培养自己识别、理解图象的能力和分析、解决综合题的能力．