Question

19．如图所示，静止于A处的带正电粒子，经加速电场加速度后沿图中$\frac{1}{4}$圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN竖直向上进入矩形区域的有界匀强磁场（磁场方向如图所示，其CNQD为匀强磁场的边界）．静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，方向如图所示．已知加速电场的电压为U，圆弧虚线的半径为R，粒子质量为m，电荷量为q，QN=2d，PN=3d，粒子重力不计．
（1）求粒子在辐向电场中运动时其所在处的电场强度E的大小；
（2）若粒子恰好能打在N点，求距形区域QNCD内匀强磁场的磁感应强度B的值；
（3）要求带电粒子最终能打在QN上，求磁场感应强度大小B的取值落围及出射点离Q点的最近距离．

Answer 1

分析 （1）由动能定理求出离开加速电场的速度，进入辅向电场做匀速圆周运动，电场力提供向心力，从而求得辐向电场的电场强度的大小．
（2）粒子打在N点，由几何关系知道粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为$\frac{3}{2}d$，由洛仑兹力提供向心力从而求得矩形磁场的磁感应强度大小．
（3）要使粒子打在QN上，则画出临界状态的轨迹，由几何关系求出最大半径和最小半径，由半径公式确定磁感应强度的范围．离Q点最近的则是轨迹与DQ相切的那条轨迹，由几何关系求出最近距离．

解答 解：（1）粒子在加速电场中加速，根据动能定理有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$．
粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，有：qE=$m\frac{{v}^{2}}{R}$  
解得：E=$\frac{2U}{R}$
（2）粒子在匀强电场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律可知：$qBv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
则 $r=\frac{mv}{qB}$，粒子恰好能打在N点，则r=$\frac{3}{2}d$，可得：B=$\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$
（3）粒子能打在QN上，则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，则粒子运动的轨迹的边界如图，
由几何关系可知，粒子能打到QN上，必须满足：$\frac{3}{2}d＜r≤2d$  
而由$r=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$  则有$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2mU}{q}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}}$
由图可得，F点离Q点最近，FO=2d，NO=d，则FN=$\sqrt{3}d$  
所以有：QF=$（2-\sqrt{3}）d$．
答：（1）粒子在辐向电场中运动时其所在处的电场强度E的大小为$\frac{2U}{R}$．
（2）若粒子恰好能打在N点，距形区域QNCD内匀强磁场的磁感应强度B的值为$\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（3）要求带电粒子最终能打在QN上，磁场感应强度大小B的取值落围是$\frac{1}{2d}\sqrt{\frac{2mU}{q}≤B＜\frac{2}{3d}\sqrt{\frac{2mU}{q}}}$，出射点离Q点的最近距离$（2-\sqrt{3}）d$．

点评 本题特殊情况：①带电粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，显然由电场力提供向心力．②再次进入匀强磁场中做匀速圆周运动，要考虑边界问题．所以确定圆心，画出粒子的轨迹是解决问题的关键．