Question

9．法拉第在研究电磁感应现象的过程中发现：“电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比”．这就是著名的法拉第电磁感应定律，请根据定律完成下列问题．
（1）如图1所示，固定于水平面上的金属框架abcd，处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN沿框架以速度v向右做匀速运动．框架的ab与dc平行，bc与ab、dc垂直．MN与bc的长度均为l，在运动过程中MN始终与bc平行，且与框架保持良好接触．磁场的磁感应强度为B．请根据法拉第电磁感应定律，证明金属棒MN中的感应电动势E=Blv；
（2）为进一步研究导体做切割磁感线运动的过程，现构建如下情景：
金属棒a和b，两棒质量都为m，电阻分别为R_a和R_b如图2所示，a棒从h高处自静止沿弧形轨道下滑，两导轨间距为L，通过C点进入轨道的水平部分，该水平部分存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．（下滑时棒始终保持与导轨垂直）
a．若金属棒b固定于轨道的水平部分，且a棒始终没有跟b棒相碰，求a棒上最终产生的焦耳热（不计一切摩擦）．
b．若金属棒b解除固定，静止于轨道水平部分，要使ab不相碰，b棒至少距离C点多远．

Answer 1

分析 （1）在△t时间内，ab棒向右移动的距离为，求出线框的磁通量的变化量，然后代入法拉第电磁感应定律即可得出E=BLv的结论；
（2）①根据能量守恒定律，回路中产生的焦耳热总量为mgh．ab棒串联，功率与电阻成正比
    ②由动能定理知C点速度，由动量守恒知ab的共同速度，由动量定理列式求解b棒至少距离C点多远．

解答 解：（1）在△t时间内，ab棒向右移动的距离为△x=v△t，这个过程中线框的面积变化量是：
△S=Lv△t                 
穿过闭合回路的磁通量的变化量是：△Φ=B△S=B Lv△t
根据法拉第电磁感应定律：E=n$\frac{△∅}{△t}$=1×$\frac{BLv△t}{△t}$=BLv

（2）
a、根据能量守恒定律，回路中产生的焦耳热总量为mgh．
ab棒串联，功率与电阻成正比，所以a棒上产生的热量为Q=$\frac{{R}_{a}mgh}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
b、a棒滑至C点时的速度为v_c=$\sqrt{2gh}$，a棒进入水平后和b棒组成的系统动量守恒定律．
由mv_v=2mv₂，得最终ab的速度均为v₂=$\frac{1}{2}\sqrt{2gh}$
设ab棒的刚好达到相同速度的过程中的某时刻，ab的速度差为△v，则此时回路中产生的感应电动势E_i=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{BL△x}{△t}$=BL△v
此时回路中的感应电流I_i=$\frac{BL△v}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
此时ab棒所受安培力F_i=BI_iL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{{R}_{a}+{R}_{b}}$
对b棒根据动量定理有：F_i△t=m△v₂
对a、b棒刚好达到相同速度的过程求和
则有：$\sum_{i}^{n}$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△v}{{R}_{a}+{R}_{b}}$△t=mv₂，
即$\frac{{B}^{2}{L}^{2}△x}{{R}_{a}+{R}_{b}}$=mv₂
又因v₂=$\frac{1}{2}$$\sqrt{2gh}$
所以解得最小距离为△x=$\frac{m（{R}_{a}+{R}_{b}）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{2gh}$
答：（1）证明过程见解析；
（2）a．若金属棒b固定于轨道的水平部分，且a棒始终没有跟b棒相碰，a棒上最终产生的焦耳热Q为$\frac{{R}_{a}mgh}{{R}_{a}+{R}_{b}}$；
b．若金属棒b解除固定，静止于轨道水平部分，要使ab不相碰，b棒至少距离C点$\frac{m（{R}_{a}+{R}_{b}）}{2{B}^{2}{L}^{2}}$$\sqrt{2gh}$．

点评 本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒、动量定理、动量守恒定律研究电磁感应现象，难度比较大．