Question

19．如图所示，置于平台上的木板与一水平传送带靠近且上表面在同一水平面上，传送带左端置于一个可视为质点的质量m=1kg的煤块，三者皆处于静止状态，木板质量M=5kg且足够长．煤块与传送带以及木板上表面间的动摩擦因数皆为μ=0.2．某时刻传送带开始顺时针转动，加速度为a₁=4m/s²，当速度达到v=3m/s后开始匀速运动．煤块先是相对传送带滑动留下一段黑色痕迹而后相对传送带静止，最后滑上木板．取g=10m/s²，求：

（1）求煤块相对传动带运动的时间t₁；
（2）如果平台光滑，计算煤块与木板摩擦产生的热量Q，以及煤块从滑上木板至与木板相对静止过程中摩擦力对煤块的冲量I；
（3）如果平台不光滑，且在煤块滑上木板的瞬间给木板施加水平向右的恒力F，此恒力作用t=0.5s时煤块与木板速度恰好相同，求此刻煤块在木板上留下的黑色痕迹的长度△s．

Answer 1

分析 （1）煤块在传送带上，先向右匀加速运动至速度为3m/s，以后煤块向右匀速运动．运用牛顿第二定律和运动学公式结合求解时间．
（2）如果平台光滑，煤块在木板上滑动的过程中二者的动量守恒，由此求出共同速度，然后由功能关系求出产生的热量，由动量定理求出摩擦力对煤块的冲量；
（3）如果平台不光滑，对煤块分别进行受力分析，由牛顿第二定律求出加速度，然后由运动学的公式即可求出二者之间的相对位移．

解答 解：（1）设煤块向右加速至速度相同所用时间为t，匀加速运动的加速度大小为a₂，由牛顿第二定律得：
 a₂=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.2×10=2m/s²
又：v=a₂t₁
得：t₁=$\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{3}{2}=1.5$s
（2）如果平台光滑，煤块在木板上滑动的过程中二者的动量守恒，设系统的最终速度为v₁，选取向右为正方向，对系统，根据动量守恒定律得：
mv=（m+M）v₁
解得：${v}_{1}=\frac{mv}{m+M}=\frac{1×3}{1+5}=0.5$m/s
由能量守恒定律，产生的热量为：
Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{1}^{2}$
代入数据得：Q=3.75J
摩擦力对煤块的冲量：I=△mv=m（v₁-v）=1×（2-3）=-1kg•m/s
负号表示方向向左．
（3）如果平台不光滑，煤块水平方向受到摩擦力的作用，做减速运动，加速度仍然是a₂，设二者受到相等时的速度为v₂，则：
v₂=v-a₂t₂=3-2×0.5=2m/s
煤块的位移：${x}_{1}=\frac{v+{v}_{1}}{2}•{t}_{2}=\frac{3+2}{2}×0.5=1.25$m
木板在水平方向受到向右的拉力、向右的煤块对木板的摩擦力以及地面对木板的向右的摩擦力，由牛顿第二定律可知木板向右做匀加速直线运动，末速度等于2m/s，则在0.5s内的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}{v}_{1}{t}_{2}=\frac{1}{2}×2×0.5=0.5$m
所以二者之间的相对位移，即煤块在木板上留下的黑色痕迹的长度：
△s=x₁-x₂=1.25-0.5=0.75m
答：（1）煤块相对传动带运动的时间是1.5s；
（2）如果平台光滑，煤块与木板摩擦产生的热量是3.75J，煤块从滑上木板至与木板相对静止过程中摩擦力对煤块的冲量是1kg•m/s，方向向左；
（3）如果平台不光滑，此刻煤块在木板上留下的黑色痕迹的长度△s是0.75m．

点评 本题考查牛顿第二定律的综合应用能量以及动量守恒定律的应用，综合能力要求较高，分析清楚物体运动过程、应用动量守恒定律与能量守恒定律即可正确解题．