Question

14．如图所示，一块质量m₁=0.99kg的木板静止在水平地面上，一个可视为质点的质量m₂=1kg的小物块静止在木板右端，已知物块与木板间动摩擦因数μ₂=0.2，木板与地面间动摩擦因数μ₁=0.4．现有一个质量m=0.01kg的子弹以v₀=400m/s的速度沿水平方向击中木板并嵌在其中，不考虑子弹与木板作用过程中的位移，已知重力加速度g=10m/²．求：
（1）子弹击中木板过程中系统损失的机械能△E；
（2）若物块始终未从木板上滑下，则最终物块距木板右端多远；
（3）物块与木板间因摩擦产生的热量Q．

Answer 1

分析 （1）子弹击中木板的过程中，根据二者组成系统动量守恒得出共同速度，根据能量守恒定律得出损失的机械能；
（2）分别对物块与木板进行受力分析，判断二者是否发生相对运动，然后由牛顿第二定律求出加速度，最后判断出物块距木板右端多远；
（3）由功能关系即可求出物块与木板间因摩擦产生的热量Q．

解答 解：（1）子弹击中木板的过程中，二者组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，则：
mv₀=（m+m₁）v₁   
代入数据得：v₁=4m/s
子弹击中木板的过程中，由能量守恒定律：$△E=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}（m+{m}_{1}）{v}_{1}^{2}$      
联立并代入数据可得：△E=792 J
（2）子弹击中木板后，木板与子弹组成的系统受到重力、木块的压力、地面的支持力和地面的摩擦力、物块的摩擦力．沿水平方向：
（m+m₁）a₁=-μ₁（m+m₁+m₂）g-μ₂m₂g
代入数据得：${a}_{1}=-10m/{s}^{2}$
物块受到摩擦力，则：m₂a₂=μ₂m₂g
代入数据得：${a}_{2}=2m/{s}^{2}$
当二者的速度相等时，设经过的时间为t₁，则：
v₁+a₁t₁=a₂t₁
得：t₁=$\frac{1}{3}$s
此时二者的速度：${v}_{2}={v}_{1}+{a}_{1}t=4-10×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$m/s
速度相等后若二者一起做减速运动，则：（m+m₁+m₂）a₃=-μ₁（m+m₁+m₂）g
所以：${a}_{3}=-4m/{s}^{2}$
由于|a₃|＞a₂
可知木板与物块不能一起减速，此时木板减速快，而物块减速慢，若物块以2m/s²的加速度做减速运动，则木板受到的物块的摩擦力的方向向前，此时木板的加速度满足：
（m+m₁）a₄=-μ₁（m+m₁+m₂）g+μ₂m₂g
代入数据得：a₃=-3m/s
所以木板减速到0 的时间：${t}_{2}=\frac{0-{v}_{2}}{{a}_{4}}=\frac{0-\frac{1}{3}}{-3}=\frac{1}{9}$s
木板减速到速度等于0后，物块仍然相对于木板向前运动，物块运动的加速度不变，则运动的时间：${t}_{3}=\frac{{0-v}_{2}}{-{a}_{2}}=\frac{0-\frac{1}{3}}{-2}=\frac{1}{6}$s
物块加速阶段的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2×\frac{1}{9}=\frac{1}{9}$m
此时木板的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{1}+\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$=4×$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}×（-10）×\frac{1}{9}$=$\frac{19}{18}$m
此时物块距木板右端的距离：${L}_{1}={x}_{2}-{x}_{1}=\frac{19}{18}-\frac{1}{9}=\frac{17}{18}$m
物块减速阶段的位移：${x}_{3}=\frac{{v}_{2}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{2×2}=\frac{1}{9}$m
此过程中木板的位移：${x}_{4}=\frac{{0-v}_{2}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{-{（\frac{2}{3}）}^{2}}{2×（-3）}=\frac{2}{27}$m
该过程中物块相对于木板的位移：${L}_{2}={x}_{4}-{x}_{3}=\frac{2}{27}-\frac{1}{9}=-\frac{1}{27}$m
所以最终时，物块距木板右端的距离：L=${L}_{1}+{L}_{2}=\frac{17}{18}-\frac{1}{27}=\frac{47}{54}$m
（3）物块与木板间因摩擦产生的热量：Q=μ₂m₂gL₁+μ₂m₂g•|L₂|
代入数据得：Q=$\frac{55}{27}$J
答：（1）子弹击中木板过程中系统损失的机械能是792J；
（2）若物块始终未从木板上滑下，则最终物块距木板右端$\frac{47}{54}$m远；
（3）物块与木板间因摩擦产生的热量是$\frac{55}{27}$J．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，关键要分析清楚物体的受力情况与运动情况，应用动量守恒定律和能量守恒定律可以解题．