Question

13．一条河两岸平行，河宽d=80m，河水流速v₁=1m/s，一小船在静水中的速度为v₂=2m/s．求：
（1）小船过河至少要多少时间？
（2）若小船船头指向与上游河岸成53°角，小船到达对岸时离正对岸多远？（sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（3）若水速增大，变成4m/s，则船过河的最短航程是多少？

Answer 1

分析 （1）当船头的指向与河岸垂直时，该船渡河所用时间最短；
（2）当船船头指向与上游河岸成53°角时，将小船的运动分解即可；
（3）因为静水速小于水流速，合速度方向不可能垂直于河岸，即不可能垂直渡河，当合速度的方向与静水速的方向垂直时，渡河位移最短．

解答 解：（1）船头垂直河岸过河，时间最短：
t_min=$\frac{d}{{v}_{2}}$=$\frac{80}{2}$s=40s
（2）船头指向与上游河岸成53°角，渡河时间为t，则：
t=$\frac{d}{{v}_{2}sin53°}$=$\frac{80}{2×0.8}$s=50s
达对岸时，离正对岸的距离s：
s=（v₂cos53°-v₁）•t=（2×0.6-1）×50m=10m
（3）因为静水速度小于水流速度，则不能垂直渡河，所以当合速度的方向与静水速的方向垂直，渡河位移最短，设此时合速度的方向与河岸的夹角为α，有：
sinα=$\frac{{v}_{2}}{{v}_{1}′}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
则最短航程为：
s=$\frac{d}{sinα}$=$\frac{80}{\frac{1}{2}}$m=160m．
答：（1）小船过河至少要40s的时间；
（2）若小船船头指向与上游河岸成53°角，小船到达对岸时离正对岸的距离是10m；
（3）若水速增大，变成4m/s，则船过河的最短航程是160m．

点评 本题是小船渡河问题，关键是运用运动的合成与分解做出速度分解或合成图，分析最短时间或最短位移渡河的条件．