Question

5．如图所示，在平面直角坐标系xOy内，第一象限存在沿y轴正方向的匀强电场E，第四象限存在一匀强磁场B₁，第三象限存在一匀强磁场B₂，一带负电粒子，从y轴上一点p（0，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）沿x轴正方向射出，一段时间后经x轴上点M（3，0）进入第四象限，经点N（0，-3）穿过y轴，已知粒子在p点初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子比荷$\frac{q}{m}$=3×10⁶C/Kg，求：
（1）匀强电场的电场强度；
（2）匀强磁场B₁的磁感应强度；
（3）若y轴上在-2≤y≤-1区域有一弹性挡板，不考虑粒子与挡板碰撞的能量、比荷的变化，若要粒子从N点仅从第三象限运动到坐标原点O，则磁感应强度B₂的可能值有哪些：

Answer 1

分析 （1）由类平抛运动的横向、纵向分位移联立求解即可；
（2）由（1）求得粒子在磁场中运动的速度及进入磁场时的方向，再根据圆弧的对称性及几何关系求得粒子运动的半径，进而由洛伦兹力作为向心力求得磁感应强度；
（3）由（2）的到粒子进入磁场的速度和方向，再根据几何关系求得弦长及半径，联立洛伦兹力作向心力即可求得磁感应强度．

解答 解：（1）粒子在第一象限内只受电场力作用，做类平抛运动，粒子运动加速度$a=\frac{F}{m}=\frac{q}{m}E$，
所以，根据类平抛运动的横向位移和纵向位移，有$\left\{\begin{array}{l}{3={v}_{0}t=2×1{0}^{6}t}\\{\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{q}{2m}E{t}^{2}=\frac{3}{2}×1{0}^{6}E{t}^{2}}\end{array}\right.$；
所以，$E=\frac{\sqrt{3}×1{0}^{-6}}{{t}^{2}}=\frac{\sqrt{3}×1{0}^{-6}}{（\frac{3}{2}×1{0}^{-6}）^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}V/m$；
（2）粒子进入第四象限时的速度v可由（1）得：v的水平分量${v}_{x}={v}_{0}=2×1{0}^{6}m/s$，竖直分量${v}_{y}=\frac{qE}{m}t=3×1{0}^{6}×\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}×\frac{3}{2×1{0}^{6}}m/s$=$2\sqrt{3}×1{0}^{6}m/s$，
所以，v=4×10⁶m/s，v与x轴正方向成60°，所以，如下图所示，粒子在第四象限运动的圆心在l₁上，连接MN，做MN的中垂线l₂，
l₁，l₂的交点O′就是粒子在第四象限做圆周运动的圆心，由几何关系可知，粒子运动的半径$R=2×\frac{3}{1+\sqrt{3}}=3（\sqrt{3}-1）m$，

由粒子在第四象限中做圆周运动，洛伦兹力做向心力，所以有${B}_{1}vq=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以，${B}_{1}=\frac{mv}{qR}=\frac{4×1{0}^{6}}{3×1{0}^{6}×3（\sqrt{3}-1）}=\frac{2}{9}（\sqrt{3}+1）T$；
（3）粒子在第三象限中只受洛伦兹力，做圆周运动，由圆弧的对称性可知，磁场边界y轴为一条直线，所以，粒子在第三象限运动轨迹的各圆弧相同，
因为挡板在-2≤y≤-1区域上，所以，粒子运动的弦长不小于1m，所以，粒子运动的弦长可谓3m，1.5m，1m；
设弦长为L，由（2）可知，O′N与y轴的夹角为30°，所以，如图所示

粒子在第三象限运动的半径$R′=\frac{\frac{L}{2}}{cos30°}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$；
由洛伦兹力作向心力，可得：${B}_{2}vq=\frac{m{v}^{2}}{R′}$，
所以，${B}_{2}=\frac{mv}{qR′}=\frac{4×1{0}^{6}}{3×1{0}^{6}}×\frac{\sqrt{3}}{L}=\frac{4\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{L}T$；
所以磁感应强度B₂可能为$\frac{4\sqrt{3}}{9}T，\frac{8\sqrt{3}}{9}T，\frac{4\sqrt{3}}{3}T$．
答：（1）匀强电场的电场强度为$\frac{4\sqrt{3}}{9}×1{0}^{6}V/m$；
（2）匀强磁场B₁的磁感应强度为$\frac{2}{9}（\sqrt{3}+1）T$；
（3）若y轴上在-2≤y≤-1区域有一弹性挡板，不考虑粒子与挡板碰撞的能量、比荷的变化，若要粒子从N点仅从第三象限运动到坐标原点O，则磁感应强度B₂的可能值有$\frac{4\sqrt{3}}{9}T，\frac{8\sqrt{3}}{9}T，\frac{4\sqrt{3}}{3}T$．

点评 在求带电粒子在磁场中的运动问题时，要注意利用用几何关系，尤其是对称关系，求得粒子运动半径，在联立洛伦兹力作向心力来求解．