Question

10．如图所示，区域Ⅰ、Ⅲ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，区域Ⅲ内磁场的磁感应强度B，宽为1.5d，区域Ⅰ中磁场的磁感应强度B₁未知，区域Ⅱ时无场区，宽为d．一个质量为m，电荷量为q的带正电粒子从磁场边界上的A点与边界成θ=60°角垂直射入区域Ⅰ的磁场，粒子恰好不从区域Ⅲ的右边界穿出且刚好能回到A点，粒子重力不计，求：
（1）区域Ⅰ中磁场的磁感应强B_Ⅰ；
（2）区域Ⅰ磁场的最小宽度L；
（3）粒子从离开A点到第一次回到A点的时间t．

Answer 1

分析 （1）根据题意画出粒子的运动轨迹，由几何关系分别求出粒子在区域Ⅰ、Ⅲ中的半径，再根据洛伦兹力提供向心力列式即可求解；
（2）由图根据几何关系求出Ⅰ区域磁场的最小宽度；
（3）粒子在磁场中匀速圆周运动，在无场区做匀速直线运动，分别求出在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中的时间，再求出总时间即可；

解答 解：（1）由题意知粒子的运行轨迹如图所示，设在区域Ⅰ、Ⅲ中粒子做圆周运动的半径分别为r、R，由图知：
R+Rcosθ=1.5d
$Rsinθ-\frac{d}{tanθ}=rsinθ$，
联立得：R=d，$r=\frac{d}{3}$
由洛伦兹力提供向心力有：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，
同理区域Ⅰ中有：$qv{B}_{1}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}$
联立解得：${B}_{1}^{\;}=3B$
（2）由（1）及图知区域Ⅰ磁场的最小宽度为：$L=r-rcosθ=\frac{d}{6}$
（3）在区域Ⅰ中有：$r=\frac{mv}{q{B}_{1}^{\;}}$，
可得：$v=\frac{qBd}{m}$
粒子在区域Ⅰ中运动时间为：${t}_{1}^{\;}=\frac{2θ}{360°}•\frac{2πm}{q{B}_{1}^{\;}}=\frac{2πm}{9qB}$，
在区域Ⅱ中运动时间为：${t}_{2}^{\;}=\frac{2d}{vsinθ}=\frac{4\sqrt{3}m}{3qB}$
在区域Ⅲ中运动时间为：${t}_{3}^{\;}=\frac{2}{3}•\frac{2πm}{qB}=\frac{4πm}{3qB}$
所以粒子运动总时间为：$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=\frac{14πm+12\sqrt{3}m}{9qB}$
答：（1）区域Ⅰ中磁场的磁感应强${B}_{1}^{\;}$为3B；
（2）区域Ⅰ磁场的最小宽度L为$\frac{d}{6}$；
（3）粒子从离开A点到第一次回到A点的时间t为$\frac{14πm+12\sqrt{3}m}{9qB}$

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，画轨迹是解决这类问题的关键，解题基本步骤是：定圆心、画轨迹、求半径．