Question

长为L的轻绳一端固定在O点，另一端栓一质量为m的小球，将小球拉到最高点A点，以v₀=(

gL

2

)

1

2

的水平速度推出，求小球经过最低点时绳子的拉力大小？（分别用动能定理和机械能守恒定律两种方法解题）

Answer 1

分析：求出小球在最高点做圆周运动的最小速度，若初速度大于最小速度，小球做圆周运动，若初速度小于最小速度，小球先做平抛运动，然后做圆周运动，在平抛运动转变为圆周运动的过程有能量损失．然后根据动能定理或机械能守恒求出最低点的速度，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力．

解答：解：根据mg=m

vmin

L2

，则在最高点做圆周运动的最小速度vmin=

gL

．
v₀＜v_min，所以小球先做平抛运动，绳子拉直后做圆周运动．
设小球做平抛运动水平位移为x时，绳子拉直．
则平抛运动的时间t=

x

v0

，平抛运动的竖直位移y=

1

2

gt2=

1

2

g

x2

v02

，
根据勾股定理，有x²+（L-y）²=L²，
将v0=

gL 2

代入，
解得x=L．
知平抛运动的末位置正好与圆心在同一水平线上．
此时竖直分速度vy=

2gL

．
水平分速度不变，将水平分速度和竖直分速度沿半径方向和垂直于半径方向分解，
由于绳子绷紧，沿半径方向的速度立即消失，只剩下垂直于半径方向的速度，
此时的速度v=vy=

2gL

．
方法一：根据动能定理得，mgL=

1

2

mv′2-

1

2

mv2，解得v′²=4gL
根据牛顿第二定律得，F-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
方法二：根据机械能守恒定律，

1

2

mv 2+mgL=

1

2

mv′2
解得v′²=4gL
根据牛顿第二定律得，F-mg=m

v2

L

，解得F=5mg．
故小球经过最低点时绳子的拉力大小为5mg．

点评：解决本题的关键确定小球的运动情况，知道若初速度大于最高点做圆周运动的最小速度，小球做圆周运动，若初速度小于最高点做圆周运动的最小速度，小球先做平抛运动，然后做圆周运动，在平抛运动转变为圆周运动的过程有能量损失．