Question

9．两个行星的质量分别是M₁和M₂，它们绕太阳运行的轨道半径分别等于R₁和R₂，假定它们只受到太阳的作用，求它们所受的向心力的比和运行周期的比各等于多少？

Answer 1

分析 行星的向心力与万有引力提供，故向心力之比即为万有引力之比；由万有引力提供向心力公式可求得周期的表达式，从而求出周期的比值．

解答 解：行星受到的万有引力F=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
两个行星的质量分别是M₁和M₂，它们绕太阳运行的轨道半径分别等于R₁和R₂，
而行星的万有引力充当向心力，故向心力之比为：$\frac{{F}_{1}}{{F}_{2}}$=$\frac{\frac{G{MM}_{1}}{{R}_{1}^{2}}}{\frac{G{MM}_{2}}{{R}_{2}^{2}}}$=$\frac{{{M}_{1}R}_{2}^{2}}{{{M}_{2}R}_{1}^{2}}$；
由万有引力充当向心力可得：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=$\frac{m{•4π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：T=2π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
故运行周期的比值为：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$；
答：它们所受的向心力的比和运行周期的比各等于$\frac{{{M}_{1}R}_{2}^{2}}{{{M}_{2}R}_{1}^{2}}$和$\sqrt{\frac{{R}_{1}^{3}}{{R}_{2}^{3}}}$．

点评 在天体的运动中应抓住万有引力充当向心力这一条主线进行分析，再选择向心力的不同表达式可得出对应的物理量．