Question

4．在2011年少年科技创新大赛中，某同学展示了其设计的自设程序控制的电动赛车，赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上．已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到阻力恒为车重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5．赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=2W工作，轨道AB的长度L=2m．圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短．在此条件下，求：
（1）小车在CD轨道上运动的最短路程；
（2）赛车电动机工作的时间．

Answer 1

分析 赛车在电动机牵引力作用下从静止开始加速运动，之后关闭发动机滑行，正好能在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短．因此利用车恰能通过轨道最高来求出进入轨道C点的最小速度，从而由动能定理来求出CD轨道上运动的最短路程，同时再由动能定理来求出赛车电动机工作的时间．

解答 解：（1）要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又在CD轨道上运动的路程最短，则小车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力：$mg=m\frac{v_P^2}{R}$
C点的速度，由机械能守恒定律可得：$mg•2R+\frac{1}{2}mv_P^2=\frac{1}{2}mv_C^2$
由上述两式联立，代入数据可得：v_C=5m/s                          
设小车在CD轨道上运动的最短路程为x，由动能定理可得：$-kmgx=0-\frac{1}{2}mv_C^2$
代入数据可得：x=2.5m                                           
（2）由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：v_B=v_C=5m/s      
从A点到B点的运动过程中，由动能定理可得：$Pt-kmgL=\frac{1}{2}mv_B^2$
代入数据可得：t=4.5s．
答：（1）小车在CD轨道上运动的最短路程是2.5m；
（2）赛车电动机工作的时间是4.5s．

点评 本题突破口是小车恰能通过最高点时，就是小车在CD轨道上运动的最短路程．同时对动能定理，机械能守恒定律理解．