Question

5．如图所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段是半径为R的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为m，重力加速度为g，且乙球所受电场力与乙球重力mg相等．水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移．
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点P与B点的距离S；
（2）在满足（1）的条件下．求甲的碰前速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右运动，不断增大甲的质量后再以v₀向右碰撞乙球，每次保持乙的质量不变，求乙在轨道上每次的首次落点P到B点的距离S′的范围．

Answer 1

分析 （1）对乙受力分析，乙离开最高点之后，做类平抛运动，竖直方向上匀加速运动，水平方向上匀速运动；
（2）由于两个球发生的是弹性碰撞，所以动量守恒，机械能也守恒，列出方程可以求出甲的速度v₀；
（3）B求经过D点后的最小的速度应该是v_D，再由动量守恒分析可得最大的速度，根据平抛运动水平方向的运动规律，可以求得范围的大小．

解答 解：（1）在乙恰能通过D点的情况下，设乙到达最高点的速度为v_D，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，
则$mg+qE=m\frac{v_D^2}{R}$，得${v_D}=\sqrt{2gR}$
mg+qE=ma_y
$\frac{1}{2}{a_y}{t^2}=2R$
s=v_Dt
联立得：s=2R
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为v_甲、v_乙，
根据动量守恒有：
mv₀=mv_甲+mv_乙
根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_甲^2+\frac{1}{2}mv_乙^2$
联立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀
由动能定理得：-mg•2R-qE•2R=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_乙²
联立①⑦⑧得：${v_0}=\sqrt{\frac{{5（mg+{F_电}）R}}{m}}=\sqrt{10gR}$=2$\sqrt{5}$m/s；
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为v_M、v_m，
根据动量守恒有：
Mv₀=Mv_M+mv_m⑩
根据机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}Mv_0^2=\frac{1}{2}Mv_M^2+\frac{1}{2}mv_m^2$
有以上两式可得：v_m=$\frac{2M{v}_{0}}{M+m}$
由于M?m，可得：v_D≤v_m＜2v_D
设乙球过D点的速度为v_D′，
由动能定理得 $-mg•2R-qE•2R=\frac{1}{2}mv_D^{'2}-\frac{1}{2}mv_m^2$
联立以上两个方程可得：2m/s≤v_D′＜8m/s
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为x′，
则有：x'=v_D′t
所以可以解得：2R≤x′＜8R
答：（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离是2R；
（2）甲的速度是$\sqrt{10gR}$；
（3）乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围是2R≤x′＜8R．

点评 在本题中物体不仅受重力的作用，还有电场力，在解题的过程中，一定要分析清楚物体的受力和运动过程，两球在碰撞过程中动量守恒，碰后机械能守恒，题目中物体的运动过程比较复杂，在解题是一定分析清楚运动过程．