Question

7．如图所示，倾角为θ的固定粗糙斜面上有一物块A，物块到斜面底端的高度为h，紧靠斜面底端有一长为L的长木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端刚好与长木板上表面左端接触，长木板上表面粗糙，右端与一四分之一圆弧面C粘接在一起，圆弧面左端与木板平滑相接，现释放物块A让其从斜面上滑下．圆弧面表面光滑，圆弧面的半径为R，物块与斜面长木板表面的动摩擦因数均为μ，A、B、C三者的质量相等，重力加速度大小为g，不计物块A从斜面滑上木板时的机械能损失．
（1）求物块A到达斜面底端时的速度大小v；
（2）改变物块A有静止释放的位置，要使物块A能滑上圆弧面C，求其开始下滑时到斜面底端的高度h₁需满足的条件；
（3）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，求其开始下滑时到斜面底端的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）物块A沿斜面下滑的过程中，重力做正功，滑动摩擦力做负功，由动能定理求物块A到达斜面底端时的速度大小v；
（2）先由动能定理求出物块A到达斜面底端时的速度表达式．物块A恰能滑上圆弧面C时，三个物体的速度相同，根据动量守恒定律求得共同速度，再由能量守恒定律求解即可．
（3）物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点时，A与C的速度相同．由A、B、C系统的水平动量守恒和能量守恒结合求高度h₂．

解答 解：（1）物块A在斜面上下滑的过程，由动能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²-0
解得：v=$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$
（2）当物块A从到斜面底端的高度为h₀时开始下滑，滑到长木板右端时，恰好与圆弧槽、长木板的速度相同，此种情况下，与（1）同理可得，物块A到达斜面底端时的速度大小为：
v₁=$\sqrt{2g{h}_{0}-\frac{2μg{h}_{0}}{tanθ}}$．
设物块A滑到长木板右端时速度大小为v₁′，取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
mv₁=3mv₁′．
由功能关系有：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}•$3mv₁′²．
解得：h₀=$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$
故h₁需满足的条件是：h₁＞$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$．
（3）若物块A恰能滑到圆弧面C的最高点，则物块A滑到圆弧槽的最高点时物块与圆弧槽、长木板具有共同速度，此种情况下，物体A到达斜面底端时的速度大小为：
v₂=$\sqrt{2g{h}_{2}-\frac{2μg{h}_{2}}{tanθ}}$
设物块滑到圆弧面C的最高点时的速度为v₃．根据动量守恒定律得：
mv₂=3mv₃．
由功能关系有：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}•$3mv₃²-mgR
解得：h₂=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
答：（1）物块A到达斜面底端时的速度大小v是$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$；
（2）改变物块A有静止释放的位置，要使物块A能滑上圆弧面C，其开始下滑时到斜面底端的高度h₁需满足的条件是 h₁＞$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$；
（3）改变物块A由静止释放的位置，若物块A恰好能滑到圆弧面C的最高点，其开始下滑时到斜面底端的高度h₂是$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$．

点评 解决本题的关键是要把握功与能的关系，挖掘隐含的临界条件：物块到达C的最高点时三个物体的速度相等．