Question

15．静电场方向平行于x轴，其电势φ随x的分布可以简化为如图所示的折线，图中φ₀和d为已知量．一个重力不计，质量为m，带电量为-q的负电粒子在电场中，以x=0为中心，沿x轴方向在[-A，A]间做周期运动（A＜d）．求：
（1）写出电势随x的变化规律关系式和粒子所受电场力大小
（2）粒子动能随x的变化规律关系式
（3）粒子的运动周期．

Answer 1

分析 （1）由图可知，电势随x均匀变化，则可知电场为匀强电场，由电势差与电场强度的关系可求得电场强度，即可求得电场力；
（2）由题意可知，动能与电势能之和保持不变，设出运动区间为[-x，x]，由题意可知x处的电势，则由数学关系可求得x值
（3）粒子在区间内做周期性变化，且从最远点到O点时做匀变速直线运动，则由运动学规律可求得周期

解答 解：（1）-d≤x≤0区间  $k=\frac{ϕ_0}{d}$
故：$ϕ=\frac{ϕ_0}{d}x+{ϕ_0}={ϕ_0}（\frac{x}{d}+1）$（-d≤x≤0
0≤x≤d区间  $k=-\frac{ϕ_0}{d}$
故：$ϕ=-\frac{ϕ_0}{d}x+{ϕ_0}={ϕ_0}（1-\frac{x}{d}）$（0≤x≤d）
或在整个区域内，$ϕ={ϕ_0}（1-\frac{1x1}{d}）$（x＜d）
由图可知电场强度大小$E=\frac{ϕ_0}{d}$
则电场力大小$F=qE=\frac{{q{ϕ_0}}}{d}$
（2）0≤x≤A区间
根据题意，在x=A时，粒子动能为0，
可知粒子在运动过程中动能和电势能之和为：
则在x位置时有：${E_k}+（-qϕ）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}{d}）$
${E_k}-q{ϕ_0}（1-\frac{x}{d}）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}{d}）$${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A-x）}{d}$（0≤x≤A）    
-A≤x≤0区间
根据题意，在x=-A时，粒子动能为0，可知粒子在运动过程中动能和电势能之和为：
则在x位置时有：${E_k}+（-qϕ）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}{d}）$
${E_k}-q{ϕ_0}（\frac{x}{d}+1）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}{d}）$${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A+x）}{d}$（-A≤x≤0）
或者：${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A-1x1）}{d}$（-A≤x≤A）
（3）0-A为四分之一周期，粒子做匀变速直线运动
S=A，$a=\frac{F}{m}=\frac{{q{ϕ_0}}}{dm}$
$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2mdA}{{q{ϕ_0}}}}$
$T=4t=4\sqrt{\frac{2mdA}{{q{ϕ_0}}}}$
答：（1）写出电势随x的变化规律关系式为$ϕ={ϕ}_{0}（1-\frac{1x1}{d}）$，粒子所受电场力大小为$\frac{q{ϕ}_{0}}{d}$
（2）粒子动能随x的变化规律关系式${E}_{k}=q{ϕ}_{0}\frac{（A-1x1）}{d}$
（3）粒子的运动周期$T=4\sqrt{\frac{2mdA}{q{ϕ}_{0}}}$．

点评 本题难度较大，要求学生能从题干中找出可用的信息，同时能从图象中判断出电场的性质；并能灵活应用功能关系结合数学知识求解，故对学生的要求较高