Question

14．如图，质量为m的小球（可视为质点），用长为L不可伸长的轻绳悬挂在O点，现把小球拉到与O等高的A点，绳子成伸直状态，然后静止释放，小球经过最低点时速度为$\sqrt{2gL}$，求：
（1）此时小球运动的角速度和绳的拉力大小
（2）若在O点正下方$\frac{2}{3}$L处固定一枚钉子，绳碰到钉子后的瞬间小球运动
的角速度多大，绳的拉力为多大．

Answer 1

分析 （1）根据最低点时的线速度，结合线速度与角速度的关系求出小球运动的角速度，根据牛顿第二定律求出绳子的拉力．
（2）在O点正下方$\frac{2}{3}$L处固定一枚钉子，绳碰到钉子后的瞬间，小球的线速度不变，结合线速度与角速度的关系，根据半径的变化求出角速度的大小，结合牛顿第二定律求出绳子的拉力．

解答 解：（1）小球的角速度$ω=\frac{v}{L}=\frac{\sqrt{2gL}}{L}=\sqrt{\frac{2g}{L}}$，
根据牛顿第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，解得绳子的拉力F=$mg+m\frac{{v}^{2}}{L}=3mg$．
（2）在O点正下方$\frac{2}{3}$L处固定一枚钉子，绳碰到钉子后的瞬间，小球的线速度不变，小球转动的半径$r=\frac{1}{3}L$，
则角速度$ω′=\frac{v}{r}=\frac{\sqrt{2gL}}{\frac{L}{3}}$=$3\sqrt{\frac{2g}{L}}$，
根据牛顿第二定律得，$F′-mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$，解得绳子的拉力F′=7mg．
答：（1）此时小球运动的角速度为$\sqrt{\frac{2g}{L}}$，绳子拉力为3mg．
（2）绳碰到钉子后的瞬间小球运动的角速度为$3\sqrt{\frac{2g}{L}}$，绳子拉力为7mg．

点评 解决本题的关键知道小球在最低点向心力的来源，知道绳子与钉子碰撞前后瞬间速度大小不变，结合牛顿第二定律进行求解．