Question

5．如图所示，竖直放置的半径为r的光滑圆轨道被固定在水平地面上，最低点处有一小球（半径比r小很多），现给小球一水平向右的初速度v₀，则要使小球不脱离圆轨道运动，v₀应当满足（　　）

• A． v₀≥0
• B． v₀≥$\sqrt{gr}$
• C． v₀≥$\sqrt{5gr}$
• D． v₀≤$\sqrt{2gr}$

Answer 1

分析 要使小球不脱离圆轨道，要求能够通过最高点，或不通过四分之一圆弧轨道，结合牛顿第二定律和动能定理求出初速度的范围．

解答 解：要使小球不脱离轨道，要求能够通过最高点，或不通过四分之一圆弧轨道，
小球通过最高点时，根据牛顿第二定律有：$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$
解得最高点的最小速度为：${v}_{1}=\sqrt{gr}$，
根据动能定理得：$-mg•2r=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{01}}^{2}$
解得最低点的最小速度为：${v}_{01}=\sqrt{5gr}$．
若小球不通过四分之一圆弧轨道，临界情况是在四分之一轨道处的速度为零，根据动能定理得：
$-mgr=0-\frac{1}{2}m{{v}_{02}}^{2}$，
解得最低点的最大速度为：${v}_{02}=\sqrt{2gr}$，
可知最低点的初速度范围为：${v}_{0}≥\sqrt{5gr}$，或${v}_{0}≤\sqrt{2gr}$，故CD正确，AB错误．
故选：CD．

点评 本题考查了圆周运动和动能定理的综合运用，知道最高点的临界情况，注意求解速度范围时，不越过四分之一圆弧轨道也不会脱离圆轨道．