题目内容
7.如图所示,半径分别为R和r(R>r)的甲、乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内,两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连,在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住,但不拴接.同时释放两小球,a、b恰好分别通过甲、乙圆轨道的最高点.试求:(1)小球a通过圆轨道甲的最高点时的速度.
(2)己知小球a的质量为m,求小球b的质量.
(3)若ma=mb=m,且要求a、b都还能分别通过甲、乙圆轨道的最高点,则弹簧在释放前至少应具有多大的弹性势能?
分析 (1)两球均恰能通过最高点,这是一个临界状态,此刻球的速度最小,满足重力提供向心力,由此可求出到最高点的速度.
(2)释放弹簧前后,由于无机械能与其他能的转化,所以机械能守恒,动量守恒.由两个守恒列式能求出b球的质量.
(3)由能量守恒,弹簧具有的弹性势能就为两个球在最高点的机械能总和,由此可求出弹簧在释放前至少应具有多大的弹性势能.
解答 解:(1)小球在最高点受重力,弹力(方向均竖直向下),当小球a恰能通过圆轨道甲的最高点时,弹力为零,则有:$mg=m\frac{{v}_{a}{′}^{2}}{R}$
得:${v}_{a}′=\sqrt{gR}$
(2)同样道理,小球b通过圆轨道乙的最高点时,由${m}_{b}g={m}_{b}\frac{{v}_{b}{′}^{2}}{r}$得:${v}_{b}′=\sqrt{gr}$
设两小球离开 弹簧瞬间的速度分别为va、vb,由机械能守恒定律有:
$\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{a}{′}^{2}+mg•2R$
$\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}′}^{2}+{m}_{b}g•2r$
解得:va=$\sqrt{5gR}$,vb=$\sqrt{5gr}$
又由动量守恒定律有:$m•\sqrt{5gR}={m}_{b}\sqrt{5gr}$
解得:mb=$\sqrt{\frac{R}{r}}m$
(3)当ma=mb=m时,Va=Vb,又由(1)(2)知,小球a能通过圆轨道甲的最高点,在刚离开弹簧时的速度条件为:${v}_{a}≥\sqrt{5gR}$,
故弹簧释放前至少具有的弹簧势能为:Ep=$2×\frac{1}{2}m(\sqrt{5gR})^{2}=5mgR$
答:(1)小球a通过圆轨道甲的最高点时的速度为$\sqrt{gR}$.
(2)己知小球a的质量为m,小球b的质量为$\sqrt{\frac{R}{r}}m$.
(3)若ma=mb=m,且要求a、b都还能分别通过甲、乙圆轨道的最高点,则弹簧在释放前至少应具有5mgR的弹性势能.
点评 本题考察的是动量守恒和机械能守恒的特殊情况,综合圆周运动向心力的临界状态.这里要注意的是不能把最高点的速度看成是零,这样的话小球到不了最高点时速度已经变为零了.
A. | 此时电流的表达式为i=0.6sin10πt(A) | |
B. | 此时电流的有效值为0.6$\sqrt{2}$A | |
C. | 若风速变为2v1,此时传感器测得的电流随时间的变化为i=1.2sin10πt(A) | |
D. | 若风速变为2v1,线圈中电流的有效值为0.6$\sqrt{2}$A |
A. | 场强大小关系有Eb>Ec | |
B. | 电势大小关系有φb<φd | |
C. | 将一负电荷放在d点时其电势能为负值 | |
D. | 将一正电荷由a点移到d点的过程中电场力做正功 |
A. | 电容器上板带正电,电荷量为2×10-9C | |
B. | 电容器上板带正电,电荷量为6×10-9C | |
C. | 电容器上板带负电,电荷量为4×10-9C | |
D. | 电容器上板带负电,电荷量为6×10-9C |
A. | 太阳绕地球做匀速圆周运动 | |
B. | 卡文迪许测量出了引力常量G的数值 | |
C. | 牛顿发现了万有引力定律 | |
D. | 托勒密提出了日心说 |
A. | A、B所受到的合力方向都是竖直向上 | |
B. | A、B之间的摩擦力大小为μF,A受到的摩擦力方向竖直向下 | |
C. | A、B之间的摩擦力大小为m(g+a),A受到的摩擦力方向竖直向下 | |
D. | A、B之间的摩擦力大小为m(g+a),A受到的摩擦力方向竖直向上 |
A. | A、B两点的角速度比ωA:ωB=$\sqrt{3}$:1 | |
B. | A、B两点的线速度比vA:vB=$\sqrt{3}$:1 | |
C. | A、B两点的向心加速度比aA:aB=$\sqrt{3}$:1 | |
D. | A、B两点的向心加速度方向都指向球心 |