Question

2．如图所示，质量为M=0.8kg的小车有半径R=1m的$\frac{1}{4}$光滑圆轨道BC和长为0.5m的水平轨道AB，小车静止于光滑的水平面上，质量为m=0.2kg的小物块（可看作质点）以水平向右的初速度v₀在A点滑上小车．已知物块与小车的水平面间的动摩擦因数为μ=0.5，g=10m/s²．求：
（1）若小车固定，物块刚好滑到小车上的C点，则物块的初速度v₀多大？
（2）若小车自由，物块仍以v₀滑上小车，物块相对水平面AB所能到达的最大高度是多少？
（3）在（2）的情况下，分析说明，物块最终能否停在小车上，若能确定位置，若不能，求出两者分离时的速度．（取$\sqrt{2}$=1.4）

Answer 1

分析 （1）若小车固定，物块刚好滑到小车上的C点，由能量守恒定律列式，求解物块的初速度v₀．
（2）若小车自由，物块滑上小车后，系统在水平方向不受外力，系统水平方向的动量守恒，根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解物块相对水平面AB所能到达的最大高度．
（3）再根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求出物块相对水平面AB滑行的总路程，确定出物块最终停在小车上的位置，并求两者分离时的速度．

解答 解：（1）若小车固定，物块刚好滑到小车上的C点，由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$mv₀²=fL+mgR   
而摩擦力大小为 f=μF_N=μmg
解得 v₀=5m/s  
（2）物块与车水平方向动量守恒，取水平向右为正方向，则
   mv₀=（m+M）v 
解得 v=1m/s
物块与车系统能量守恒，则 $\frac{1}{2}$mv₀²=μmgL+mgh+$\frac{1}{2}$（m+M）v²
解得最大高度 h=0.75m  
（3）若停在小车上有：$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（m+M）v²=μmgs
解得物块相对水平面AB滑行的总路程 s=2m＞2L
所以不会停在小车上，即两者分离
设两者分离时m的速度v₁，车的速度v₂，
物块与车水平方向动量守恒，则得 mv₀=mv₁+Mv₂
物块与车系统能量守恒，则得
   μmg•2L=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$Mv₂²
解得 v₁=-1.8m/s   说明分离时m的速度方向与v₀方向相反
车的速度  v₂=1.7m/s
答：
（1）若小车固定，物块刚好滑到小车上的C点，则物块的初速度v₀是5m/s．
（2）若小车自由，物块仍以v₀滑上小车，物块相对水平面AB所能到达的最大高度是0.75m．
（3）在（2）的情况下，物块最终不能停在小车上，物块和小车分离时的速度分别为：1.8m/s，方向向左，以及1.7m/s，方向向右．

点评 本题的关键是要分析清楚系统的运动情况，知道系统水平方向动量守恒，竖直方向动量不守恒，同时根据功能关系列式研究．