Question

13．宇航员在月球上，从高h处以初速度v0水平抛出一小球，水平射程为L（这时月球表面可以看作是平坦的），已知月球半径为R，万有引力常量为G．求：
（1）月球表面处的重力加速度及月球的质量M．
（2）月球的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析 根据平抛运动的规律，求出月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力求出月球的质量．
根据万有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球平抛运动的时间t=$\frac{L}{{v}_{0}}$，
根据h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，月球表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$．
根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，月球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}=\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
（2）根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2h{{v}_{0}}^{2}R}{{L}^{2}}}=\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．
答：（1）月球表面处的重力加速度为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}}{{L}^{2}}$，月球的质量为$\frac{2h{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{G{L}^{2}}$．
（2）月球的第一宇宙速度为$\frac{{v}_{0}}{L}\sqrt{2hR}$．

点评 本题考查了万有引力理论与平抛运动的综合运用，通过平抛运动的规律求出重力加速度是关键．掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．