Question

19．一圆筒的横截面如图所示，圆心为O、半径为R，在筒上有两个小孔M，N且M、O、N在同一水平线上．圆筒所在区域有垂直于圆筒截面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在圆筒左侧有一个加速电场．一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子，由静止经电场加速后从M孔沿MO方向射入圆筒．已知粒子与圆筒碰撞时电荷量保持不变，碰撞后速度大小不变，方向与碰撞前相反，不计粒子重力．
（1）若加速电压为U₀，要使粒子沿直线MN运动，需在圆筒内部空间加一匀强电场，求所加电场的电场强度大小E；
（2）若带电粒子与圆筒碰撞三次后从小孔N处射出，求粒子在圆筒中运动时间t；
（3）若带电粒子与圆筒碰撞后不越过小孔M，而是直接从小孔M处射出，求带电粒子射入圆筒时的速度v．

Answer 1

分析 （1）加速电场中带电粒子做匀加速直线运动，由动能定理可以求出进入复合电磁场的速度，由于在复合场中做直线运动，由平衡条件从而求出所加的电场强度的大小和方向．
（2）带电粒子与筒壁碰撞三次从N点射出，由粒子在磁场中做匀速圆周运动的对称性画出运动轨迹，主要有两种情况：偏转角分别是$\frac{π}{4}$、$\frac{3π}{4}$．结合周期公式就能求出粒子在圆形磁场中的运动时间．
（3）粒子经过一次碰撞后入射点与碰撞点与磁场圆圆心的连线转过一个角度2φ，要使粒子不越过M点从M点射出，则角度φ应满足：（n+1）2φ=2π，再由几何关系求出磁场半径R与轨迹半径r的几何关系，洛仑兹力提供向心力，从而求出入射粒子进入圆筒的速度．

解答 解：（1）带电粒子在平行板加速过程中，由动能定理得：
qU₀=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$
在磁场中运动时，电场力与洛伦兹力平衡，有：
qv₀B=qE
解得：E=B$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$
（2）带粒子在磁场中运动的周期为：
T=$\frac{2πm}{qB}$
带电粒子与环碰撞三次有两种情况：
第一种情况如图（1）所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角为：α=$\frac{π}{4}$
两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角为：
β=π-α=$\frac{3π}{4}$
整个过程运动时间为：t=4×$\frac{β}{2π}$T=$\frac{3πm}{qB}$
 第二种情况如图（2）所示，两次碰撞点与圆环圆心的连线夹角α′=$\frac{3π}{4}$
两次碰撞过程粒子通过弧长对应的圆心角为：
β′=π-α′=$\frac{π}{4}$
整个过程运动时间为：t′=$\frac{3πm}{4qB}$
 所以带电粒子在圆环中运动的时间为$\frac{3πm}{qB}$或$\frac{πm}{qB}$
（3）设粒子从M点射入磁场后做圆周运动的速度为v、半径为r，得：
qvB=m$\frac{v2}{r}$
设粒子经n次碰撞从小孔M射出，则有：
2π=（n+1）•2φ    （n=2，3，4，5，…）
又当$\frac{（n+1）}{2}$•2φ=π时，粒子会从小孔N射出，故n只能取偶数，
综上可得φ=$\frac{π}{n+1}$（n=2，4，6，…）
由几何关系得tanφ=$\frac{r}{R}$
解得入射粒子速度大小为：
v=$\frac{qΒR}{m}$tan$\frac{π}{n+1}$（n=2，4，6，…）
答：（1）若加速电压为U₀，要使粒子沿直线MN运动，需在圆筒内部空间加一匀强电场，所加电场的电场强度大小E为$\sqrt{\frac{2q{U}_{0}}{m}}$．
（2）若带电粒子与圆筒碰撞三次后从小孔N处射出，粒子在圆筒中运动时间t为$\frac{3πm}{qB}$或$\frac{πm}{qB}$．
（3）若带电粒子与圆筒碰撞后不越过小孔M，而是直接从小孔M处射出，带电粒子射入圆筒时的速度v为$\frac{qΒR}{m}$tan$\frac{π}{n+1}$．

点评 本题的靓点在于：带电粒子在圆形磁场的圆筒中做匀速圆周运动时又与圆筒发生弹性碰撞，根据题意画出粒子符合要求的运动轨迹，由几何关系结合半径公式和周期公式，就能求得所需的物理量．