Question

5．如图所示，倾角θ=30°、长L=2.7m的斜面，底端与一个光滑的$\frac{1}{4}$圆弧平滑连接，圆弧底端切线水平．一个质量为m=1kg的质点从斜面最高点A沿斜面由静止下滑，经过斜面底端B恰好到达圆弧最高点C，又从圆弧滑回，能上升到斜面上的D点，再由D点由斜面下滑沿圆弧上升，再滑回，这样往复运动，最后停在B点．已知质点与斜面间的动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，g=10m/s²．假设质点经过斜面与圆弧平滑连接处速率不变．求：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力；
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度；
（3）质点从开始到最后停止运动的过程中在斜面上滑过的路程；
（4）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出质点第1次到达B点的速度，结合牛顿第二定律和第三定律求出质点对圆弧轨道的压力．
（2）对AB段和BD段分别运用动能定理，求出BD的长度，从而得出质点从A到D的过程中质点下降的高度．
（3）整个过程中，摩擦力做功即为机械能的减少量，当最终停在B点时求出机械能的减少量，根据摩擦力做功求出运动路程
（4）分别对上滑过程和下滑过程运用动能定理，得出上滑的位移与下滑的位移的关系，从而找出规律，得出质点在斜面上运动的路程，通过Q=fs求出产生的热量

解答 解：（1）设圆弧的半径为R，则质点从C到B过程，有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：F_N=3mg=3×1×10N=30N  
根据牛顿第三定律，质点第1次经过B点对圆弧轨道的压力为30N．
（2）设AD高度为h，选A经B到C再返回D的过程，根据动能定理知     
mgh-μmgcos30°（2L-$\frac{h}{sin30°}$）=0
解得：h=0.9m
则质点从A点到D点下降的高度为：h=0.9m
AD的距离为：L₁=L-2h=0.9m
（3）当最终停在B点时，机械能减少量为：△E_p=mgLsin30°=1×10×2.7×0.5=13.5J
滑块在斜面上所受摩擦力：f=μmgcos30°
设滑块在斜面上通过的总路程为S，则：△E_p=fS
联立三式并代入数据得：S=5.4m
（4）质点第2次由B点沿斜面上滑的距离为L₂．则有：mg（L-L₂）sin30°-μmgcos37°•（L+L₁+L₂）=0
解得：L₂=（$\frac{1}{3}$）²L
同理知：质点第n次由B点沿斜面上滑的距离L_n为：L_n=（$\frac{1}{3}$）²L
所以质点从开始到第6次经过B点的过程中，在斜面上通过的路程为：
S=L+2（L₁+L₂）=5.1m  
Q=μmgcos30°S=12.75J   
答：
（1）质点第1次经过B点时对圆弧轨道的压力为30N．
（2）质点从A到D的过程中质点下降的高度为0.9m．
（3）在斜面上通过的总路程为5.4m．
（4）质点从开始到第6次经过B点的过程中因与斜面摩擦而产生的热量为12.75J．

点评 本题考查了考查了动能定理和牛顿第二定律，综合性较强，难度中等，关键是理清运动过程，选择合适的过程运用动能定理进行求解．