题目内容
【题目】物理中存在“通量”这个物理量，“通量”的定义要用到高等数学知识．在高中阶段，对“通量”的定义采用的是简单化处理方法并辅以形象化物理模型进行理解．
（1）“磁通量”就是一种常见的“通量”．在高中阶段我们是这样来定义“磁通量”的：设在磁感应强度为
的匀强磁场中，有一个与磁场方向垂直的平面，面积为
，我们把
与
的乘积叫做穿过这个面积的磁通量（图1），简称磁通．用字母
表示，则
．磁通量可以形象地理解为穿过某一面积的磁感线条数的多少．如图2所示，空间存在水平向右的匀强磁场，磁感应强度大小为
．一个面积为
的矩形线圈与竖直面间的夹角为
，试求穿过该矩形线圈的磁通量
．
（2）“电通量”也是一种常见的“通量”．在定义“电通量”时只需要把“磁通量”中的磁感应强度
替换为电场强度
即可．请同学们充分运用类比的方法解决以下问题．已知静电力常量为
．
图3 图4
a．如图3所示，空间存在正点电荷
，以点电荷为球心作半径为
的球面，试求通过该球面的电通量
．
b．上述情况映射的是静电场中“高斯定理”，“高斯定理”可以从库仑定律出发得到严格证明．“高斯定理”可表述为：通过静电场中任一闭合曲面的电通量等于闭合曲面内所含电荷量
与
的乘积，即
,其中
为静电力常量．试根据“高斯定理”证明：一个半径为
的均匀带电球体（或球壳）在外部产生的电场，与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同，球外各点的电场强度也是
，式中
是球心到该点的距离， 
为整个球体所带的电荷量．
【答案】（1）
（2）a． 
b． 
【解析】（1）
．
（2）a．根据点电荷的场强公式，求得球面上各处的电场强度大小为
，
由于球面上各处电场强度方向都与球面垂直，故通过球面的电通量为，
，
b．证明：过距离球心距离
的点作一球面，根据对称性可知该球面上各点场强大小相等，方向处处球面垂直．设该点的电场强度为
，通过该球面的电通量为
，则
，
由高斯定理知， 
，
所以有
，
化简得
，这就是球心处的点电荷
在
处产生的场强，证明完毕．
