Question

6．如图所示，半径为R的圆形区域位于正方形ABCD的中心，圆形区域内、外有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小相等，方向相反，一质量为m，电荷量为q的带正电粒子以速率v₀沿纸面从M点平行于AB边沿半径方向射入圆形磁场，在圆形磁场中转过90°从N点射出，且恰好没射出正方形磁场区域，粒子重力不计，求：
（1）磁场的磁感应强度B
（2）正方形区域的边长
（3）粒子再次回到M点所用的时间．

Answer 1

分析 （1）分析粒子在磁场中的运动规律，作出粒子的运动轨迹图，由几何关系可确定粒子半径，再由洛仑兹力充当向心力可求得磁感应强度；
（2）要使粒子不离开磁场区域应使粒子恰好与磁场边界相切，根据洛仑兹力充当向心力可明确粒子的半径，即可确定正方形区域的边长；
（3）由圆周运动规律可求得圆周运动的周期，由几何关系可求得粒子在两种磁场中的运动时间，则可求得总时间．

解答 解：（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示，设轨道半径为r₁，则洛仑兹力充当向心力可知：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
由几何关系可知，r₁=R；
解得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
（2）粒子在正方向形磁场中的轨道半径为r₂，粒子恰好不从AB边射出则有；
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{2}}$
解得r₂=$\frac{m{v}_{0}}{Bq}$=R；
则正方向的边长L=2r₁+2r₂=4R；
（3）粒子在圆形磁场中做圆周运动的周期T₁=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
在圆形磁场中运动时间t₁=$\frac{{T}_{1}}{2}$=$\frac{πR}{{v}_{0}}$
粒子在圆形以外的区域做圆周运动周期T₂=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
在圆形以外的磁场中运动时间：
t₃=$\frac{3}{2}{T}_{2}$=$\frac{3πR}{{v}_{0}}$；
则再次回到M点的时间t=t₁+t₂=$\frac{4πR}{{v}_{0}}$

答：（1）磁场的磁感应强度B为$\frac{m{v}_{0}}{qR}$
（2）正方形区域的边长为4R
（3）粒子再次回到M点所用的时间$\frac{4πR}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在磁场中的运动，此类问题审题非常关键，根据题意明确粒子的运行轨迹并由几何关系确定粒子转动的圆心和半径，则基本可以求解．