Question

6．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，一矿井深度为d．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为$1-\frac{d}{R}$．

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，矿井深度为d的井底的加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答 解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的质量为：M=ρ$\frac{4}{3}$πR³
所以重力加速度的表达式可写成：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{\frac{4}{3}Gρπ{R}^{3}}{{R}^{2}}$=$\frac{4}{3}$GρπR．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度为：g′=$\frac{4}{3}$Gρπ（R-d）．
所以有：$\frac{g'}{g}$=$\frac{R-d}{R}$=$1-\frac{d}{R}$
故答案为：$1-\frac{d}{R}$

点评 本题考查万有引力定律的应用，要注意抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．